Sean $D$, $E$, $F$ los puntos medios de los arcos $BC$, $CA$, $AB$ en la circunferencia circunscrita de un triángulo $ABC$ que no contienen los puntos $A$, $B$, $C$, respectivamente. Sea la línea $DE$ que se encuentra con $BC$ y $CA$ en $G$ y $H$, y sea $M$ el punto medio del segmento $GH$. Sea la línea $FD$ que se encuentra con $BC$ y $AB$ en $K$ y $J$, y sea $N$ el punto medio del segmento $KJ$. a) Encuentra los ángulos del triángulo $DMN$; b) Demuestra que si $P$ es el punto de intersección de las líneas $AD$ y $EF$, entonces el circuncentro del triángulo $DMN$ se encuentra en la circunferencia circunscrita del triángulo $PMN$.

Paralelas a los lados de un triángulo que pasan por un punto interior dividen el interior de un triángulo en $6$ partes con las áreas marcadas como en la figura. Muestra que $\frac{a}{\alpha}+\frac{b}{\beta}+\frac{c}{\gamma}\ge \frac{3}{2}$

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB = AC$. Un semicírculo de diámetro $[EF]$ con $E, F \in [BC]$, es tangente a los lados $AB, AC$ en $M, N$ respectivamente y $AE$ interseca el semicírculo en $P$. Demuestra que $PF$ pasa por el punto medio de $[MN]$.

Tres círculos iguales tienen un punto común $M$ y se intersecan en pares en los puntos $A, B, C$ . Demuestra que $M$ es el ortocentro del triángulo $ABC$ .

Sea $G$ el baricentro del triángulo $ABC$ , y $A'$ el simétrico de $A$ con respecto a $C$ . Demuestra que $G, B, C, A'$ son concíclicos si y sólo si $GA \perp GC$ .

Existe un triángulo con área de $12 \, cm^2$ y perímetro de $12$ cm?

Existe un cuadrilátero convexo cuyas diagonales lo dividen en cuatro triángulos con áreas de números primos distintos?

$ABCD$ es un cuadrilátero cíclico. Un círculo que pasa por $A,B$ es tangente al segmento $CD$ en el punto $E$ . Otro círculo que pasa por $C,D$ es tangente a $AB$ en el punto $F$ . El punto $G$ es el punto de intersección de $AE,DF$ , y el punto $H$ es el punto de intersección de $BE$ , $CF$ . Demuestra que los incentros de los triángulos $AGF$ , $BHF$ , $CHE$ , $DGE$ se encuentran en un círculo.

El cuadrilátero $ABCD$ está circunscrito alrededor de un círculo. Las diagonales $AC,BD$ no son perpendiculares entre sí. Las bisectrices de los ángulos entre estas diagonales intersecan los segmentos $AB,BC,CD$ y $DA$ en los puntos $K,L,M$ y $N$ . Dado que $KLMN$ es cíclico, demuestra que también lo es $ABCD$ .

Encuentra todos los valores posibles del entero $n > 3$ tal que haya un $n$ - gono convexo en el que cada diagonal sea la bisectriz perpendicular de al menos otra diagonal.