Sea $ABC$ un triángulo y sean $a,b,c$ las longitudes de los lados $BC, CA, AB$ respectivamente. Considerar un triángulo $DEF$ con las longitudes de los lados $EF=\sqrt{au}$ , $FD=\sqrt{bu}$ , $DE=\sqrt{cu}$. Demostrar que $\angle A >\angle B >\angle C$ implica $\angle A >\angle D >\angle E >\angle F >\angle C$.

Sea $ABC$ un triángulo. Encontrar todos los triángulos $XYZ$ con vértices dentro del triángulo $ABC$ tales que $XY,YZ,ZX$ y seis segmentos no intersecantes de los siguientes $AX, AY, AZ, BX, BY, BZ, CX, CY, CZ$ dividen el triángulo $ABC$ en siete regiones con áreas iguales.

Dado un triángulo $ABC$. Encontrar todos los segmentos $XY$ que yacen dentro del triángulo tales que $XY$ y cinco de los segmentos $XA,XB, XC, YA,YB,YC$ dividen el triángulo $ABC$ en $5$ regiones con áreas iguales. Además, demostrar que todos los segmentos $XY$ tienen un punto común.

Dado un triángulo $ABC$. Encontrar todos los pares de puntos $X,Y$ tales que $X$ está en los lados del triángulo, $Y$ está dentro del triángulo, y cuatro segmentos no intersecantes del conjunto $\{XY, AX, AY, BX,BY, CX, CY\}$ dividen el triángulo $ABC$ en cuatro triángulos con áreas iguales.

Encontrar todas las ternas $(x,y,z)$ de números reales tales que \[2x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{z-1}+2z\sqrt{x-1} \ge xy+yz+zx \]

Sean $x,y,a,b$ números reales positivos tales que $x\not= y$ , $x\not= 2y$ , $y\not= 2x$ , $a\not=3b$ y $\frac{2x-y}{2y-x}=\frac{a+3b}{a-3b}$. Demostrar que $\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}\ge 1$.

Sean $m$ y $n$ enteros positivos con $m\le 2000$ y $k=3-\frac{m}{n}$. Encontrar el valor positivo más pequeño de $k$.

Demostrar que \[ \sqrt{(1^k+2^k)(1^k+2^k+3^k)\ldots (1^k+2^k+\ldots +n^k)}\] \[ \ge 1^k+2^k+\ldots +n^k-\frac{2^{k-1}+2\cdot 3^{k-1}+\ldots + (n-1)\cdot n^{k-1}}{n}\] para todos los enteros $n,k \ge 2$.

Considerar una secuencia de enteros positivos $x_n$ tal que: \[(\text{A})\ x_{2n+1}=4x_n+2n+2 \] \[(\text{B})\ x_{3n+2}=3x_{n+1}+6x_n \] para todo $n\ge 0$. Demostrar que \[(\text{C})\ x_{3n-1}=x_{n+2}-2x_{n+1}+10x_n \] para todo $n\ge 0$.

Demostrar que para cualquier entero $n$ uno puede encontrar enteros $a$ y $b$ tales que \[n=\left[ a\sqrt{2}\right]+\left[ b\sqrt{3}\right] \]