Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $\angle{B}=60$ . La circunferencia con diámetro $AC$ interseca las bisectrices internas de los ángulos $A$ y $C$ en los puntos $M$ y $N$ , respectivamente $(M\neq{A},$ $N\neq{C})$ . La bisectriz interna de $\angle{B}$ interseca $MN$ y $AC$ en los puntos $R$ y $S$ , respectivamente. Demostrar que $BR\leq{RS}$ .

Definir la secuencia $\{a_n\}$ de la siguiente manera:\n$a_1=1$\n$a_2=3$\n$a_{n+2}=2a_{n+1}a_{n}+1$ ; para todo $n\geq1$\nDemostrar que la mayor potencia de $2$ que divide a $a_{4006}-a_{4005}$ es $2^{2003}.$

En un torneo de fútbol entre cuatro equipos, $A$, $B$, $C$ y $D$, cada equipo juega contra cada uno de los otros exactamente una vez.\na) Decidir si, al final del torneo, es posible que las cantidades de goles marcados y goles permitidos para cada equipo sean las siguientes:\n$\n\begin{tabular}{ c|c|c|c|c }\n{} & A & B & C & D \\\n\hline\nGoles marcados & 1 & 3 & 6 & 7 \\\n\hline\nGoles permitidos & 4 & 4 & 4 & 5 \\\n\end{tabular}\n$\nSi la respuesta es sí, dar un ejemplo de los resultados de los seis partidos; en caso contrario, justificar su respuesta.\nb) Decidir si, al final del torneo, es posible que las cantidades de goles marcados y goles permitidos para cada equipo sean las siguientes:\n$\n\begin{tabular}{ c|c|c|c|c }\n{} & A & B & C & D \\\n\hline\nGoles marcados & 1 & 3 & 6 & 13 \\\n\hline\nGoles permitidos & 4 & 4 & 4 & 11 \\\n\end{tabular}\n$\nSi la respuesta es sí, dar un ejemplo de los resultados de los seis partidos; en caso contrario, justificar su respuesta.

a) Tenemos una secuencia geométrica de $3$ términos. Si la suma de estos términos es $26$ , y su suma de cuadrados es $364$ , encuentre los términos de la secuencia. b) Suponga que $a,b,c,u,v,w$ son números reales positivos , y cada uno de $a,b,c$ y $u,v,w$ son secuencias geométricas. Suponga también que $a+u,b+v,c+w$ son una secuencia aritmética. Demuestre que $a=b=c$ y $u=v=w$ c) Sean $a,b,c,d$ números reales (no todos cero), y sea $f(x,y,z)$ el polinomio en tres variables definido por $$f(x,y,z) = axyz + b(xy + yz + zx) + c(x+y+z) + d$$ . Demuestre que $f(x,y,z)$ es reducible si y sólo si $a,b,c,d$ es una secuencia geométrica.

Tenemos una gran cantidad de sombreros negros, blancos, rojos y verdes. Y queremos dar $8$ de estos sombreros a $8$ estudiantes que están sentados alrededor de una mesa redonda. Encuentre el número de formas de hacer eso en cada uno de estos casos (asumiendo para los propósitos de este problema que los estudiantes no cambiarán sus lugares, y que los sombreros del mismo color son idénticos) a) Cada sombrero a ser usado debe ser rojo o verde. b) Exactamente dos sombreros de cada color deben ser usados c) Exactamente dos sombreros de cada color deben ser usados, y cada dos sombreros del mismo color deben ser dados a dos estudiantes adyacentes. d) Exactamente dos sombreros de cada color deben ser usados, y no dos sombreros del mismo color deben ser dados a dos estudiantes adyacentes. e) No hay restricciones en el número de sombreros de cada color que deben ser usados, pero no dos sombreros del mismo color deben ser dados a dos estudiantes adyacentes.

a) Sean $UVW$ , $U'V'W'$ dos triángulos tales que $ VW = V'W' , UV = U'V' , \angle WUV = \angle W'U'V'.$ Demuestre que los ángulos $\angle VWU , \angle V'W'U'$ son iguales o suplementarios. b) $ABC$ es un triángulo donde $\angle A$ es obtuso . Tome un punto $P$ dentro del triángulo , y extienda $AP,BP,CP$ para intersectar los lados $BC,CA,AB$ en $K,L,M$ respectivamente. Suponga que $PL = PM .$ 1) Si $AP$ biseca $\angle A$ , entonces demuestre que $AB = AC$ . 2) Encuentre los ángulos del triángulo $ABC$ si sabe que $AK,BL,CM$ son bisectrices de ángulos del triángulo $ABC$ y que $2AK = BL$ .

a) Suponga que $n$ es un entero impar. Demuestre que $k(n-k)$ es divisible por $2$ para todos los enteros positivos $k$. b) Encuentre un entero $k$ tal que $k(100-k)$ no sea divisible por $11$. c) Suponga que $p$ es un primo impar, y $n$ es un entero. Demuestre que existe un entero $k$ tal que $k(n-k)$ no es divisible por $p$. d) Suponga que $p,q$ son dos primos impares diferentes, y $n$ es un entero. Demuestre que existe un entero $k$ tal que $k(n-k)$ no es divisible por ninguno de $p,q$.

El punto $P$ está dentro de un triángulo equilátero con lado de longitud $10$ de manera que la distancia de $P$ a dos de los lados son $1$ y $3$. Encontrar la distancia de $P$ al tercer lado.

Considerar un cuadrilátero con $\angle DAB=60^{\circ}$ , $\angle ABC=90^{\circ}$ y $\angle BCD=120^{\circ}$. Las diagonales $AC$ y $BD$ se intersecan en $M$. Si $MB=1$ y $MD=2$ , encontrar el área del cuadrilátero $ABCD$.

Todos los ángulos del hexágono $ABCDEF$ son iguales. Demostrar que \[AB-DE=EF-BC=CD-FA \]