$ABCD$ es un cuadrilátero convexo; las semirrectas $DA$ y $CB$ se encuentran en el punto $Q$ ; las semirrectas $BA$ y $CD$ se encuentran en el punto $P$ . Se sabe que $\angle AQB=\angle APD$ . La bisectriz del ángulo $\angle AQB$ se encuentra con los lados $AB$ y $CD$ del cuadrilátero en los puntos $X$ e $Y$ , respectivamente; la bisectriz del ángulo $\angle APD$ se encuentra con los lados $AD$ y $BC$ en los puntos $Z$ y $T$ , respectivamente. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $ZQT$ y $XPY$ se encuentran en el punto $K$ dentro del cuadrilátero. Demuestre que $K$ se encuentra en la diagonal $AC$ .

Números distintos de cero están dispuestos en un cuadrado de $n \times n$ ( $n>2$ ) . Cada número es exactamente $k$ veces menor que la suma de todos los demás números en la misma cruz (es decir, $2n-2$ números escritos en la misma fila o columna con este número). Encuentre todos los $k$ posibles.

Todos los enteros positivos se distribuyen entre dos conjuntos disjuntos $N_{1}$ y $N_{2}$ de tal manera que ninguna diferencia de dos números que pertenecen al mismo conjunto es un primo mayor que 100. Encuentre todas esas distribuciones.

El cuadrado unitario $ABCD$ está dividido en $10^{12}$ cuadrados más pequeños (no necesariamente iguales). Demuestre que la suma de los perímetros de todos los cuadrados más pequeños que tienen puntos en común con la diagonal $AC$ no excede 1500.

¿Existen trinomios cuadráticos $P, \ \ Q, \ \ R$ tales que para cada enteros $x$ e $y$ exista un entero $z$ que satisfaga $P(x)+Q(y)=R(z)?$

Resuelva la ecuación \[(a^{2},b^{2})+(a,bc)+(b,ac)+(c,ab)=199.\] en enteros positivos. (Aquí $(x,y)$ denota el máximo común divisor de $x$ e $y$ . )

Diez equipos de voleibol jugaron un torneo; cada dos equipos se enfrentaron exactamente una vez. El ganador del juego obtiene 1 punto, el perdedor obtiene 0 (no hay empates en el voleibol). Si el equipo que anotó $n$ - ésimo tiene $x_{n}$ puntos ( $n=1, \dots, 10$ ) , pruebe que $x_{1}+2x_{2}+\dots+10x_{10}\geq 165$ .

Demostrar que existe una secuencia de enteros positivos $x_1, x_2,…x_n,…$ que satisface las dos condiciones siguientes:\n(i) Cada entero positivo aparece exactamente una vez,\n(ii) Para cada $n=1,2,…$ la suma parcial $x_1+x_2+…+x_n$ es divisible por $n^n$ .

Sea $n=3k+1$ , donde $k$ es un entero positivo. Se forma un arreglo triangular de lado $n$ usando círculos con el mismo radio, como se muestra en la figura para $n=7$ . Determinar, para cada $k$ , el número más grande de círculos que se pueden colorear de rojo de tal manera que no haya dos círculos mutuamente tangentes que estén coloreados de rojo.

En un triángulo acutángulo $ABC$ , los puntos $H$ , $G$ y $M$ están ubicados en $BC$ de tal manera que $AH$ , $AG$ y $AM$ son la altura, la bisectriz y la mediana del triángulo, respectivamente. Se sabe que $HG=GM$ , $AB=10$ y $AC=14$ . Encontrar el área del triángulo $ABC$ .