Demuestra que el área del círculo inscrito en un hexágono regular es mayor que el $90\%$ del área del hexágono.

¿Pueden tres personas, que tienen una motocicleta doble, superar la distancia de $70$ km en $3$ horas? La velocidad del peatón es de $5$ km / h y la velocidad de la motocicleta es de $50$ km / h.

Varios números racionales fueron escritos en la pizarra. Dima escribió sus partes fraccionarias en papel. Luego todos los números en la pizarra se elevaron al cuadrado, y Dima escribió otro papel con las partes fraccionarias de los números resultantes. Resultó que en los papeles de Dima se escribieron los mismos conjuntos de números (tal vez en diferente orden). Demuestre que los números originales en la pizarra eran enteros. (La parte fraccionaria de un número $x$ es tal número $\{x\}, 0 \le \{x\} <1$ , que $x-\{x\}$ es un entero.)

En el lado $AB$ de un triángulo isósceles $AB$ ( $AC=BC$ ) se encuentran los puntos $P$ y $Q$ tales que $\angle PCQ \le \frac{1}{2} \angle ACB$ . Demuestre que $PQ \le \frac{1}{2} AB$ .

Todos los enteros positivos se distribuyen entre dos conjuntos disjuntos $N_{1}$ y $N_{2}$ de tal manera que ninguna diferencia de dos números que pertenecen al mismo conjunto es un primo mayor que 100. Encuentre todas esas distribuciones.

Los números naturales $1, 2, 3,.., 100$ están contenidos en la unión de $N$ progresiones geométricas (no necesariamente con denominaciones enteras). Demuestre que $N \ge 31$

Sea ABC un triángulo isósceles agudo ( $AB=BC$ ) inscrito en un círculo con centro $O$ . La línea que pasa por el punto medio de la cuerda $AB$ y el punto $O$ interseca la línea $AC$ en $L$ y el círculo en el punto $P$ . Sea la bisectriz del ángulo $BAC$ interseca el círculo en el punto $K$ . Las líneas $AB$ y $PK$ se intersecan en el punto $D$ . Demuestre que los puntos $L,B,D$ y $P$ se encuentran en el mismo círculo.

¿Es posible colocar enteros en las celdas de la hoja de verificación infinita de modo que cada entero aparezca al menos en una celda, y la suma de cualquier $10$ números en una fila vertical u horizontal, sea divisible por $101$ ?

$16$ jugadores de ajedrez celebraron un torneo entre ellos: cada dos jugadores de ajedrez jugaron exactamente una partida. Por la victoria en la partida se dio $1$ punto, por un empate $0.5$ puntos, por la derrota $0$ puntos. Resultó que exactamente 15 jugadores de ajedrez compartieron el primer lugar. ¿Cuántos puntos pudo anotar el decimosexto jugador de ajedrez?

¿Es posible colorear todos los números reales positivos con 10 colores de modo que cada dos números con representaciones decimales que difieren en un solo lugar sean de diferentes colores? (Suponemos que no hay lugar en una representación decimal tal que todos los dígitos a partir de ese lugar sean 9).