Encuentra todos los enteros positivos $a$ , $b$ , $n$ y números primos $p$ que satisfacen \[\quad a^{2013} + b^{2013} = p^n\text{.}\] Propuesto por Matija Bucić.

Sea $k$ un entero positivo. En la Copa Europea de Ajedrez cada par de jugadores jugó una partida en la que alguien ganó (no hubo empates). Para cualquier $k$ jugadores había un jugador contra quien todos perdieron, y el número de jugadores era el menor posible para tal $k$ . ¿Es posible que en la Ceremonia de Clausura todos los participantes estuvieran sentados en la mesa redonda de tal manera que cada participante estuviera sentado al lado de una persona contra la que ganó y una persona contra la que perdió? Propuesto por Matija Bucić.

¿Existen números reales positivos $x$ , $y$ y $z$ tales que $\qquad x^4 + y^4 + z^4 = 13\text{,} $ $\qquad x^3y^3z + y^3z^3x + z^3x^3y = 6\sqrt{3} \text{,} $ $\qquad x^3yz + y^3zx + z^3xy = 5\sqrt{3} \text{?} $ Propuesto por Matko Ljulj.

Sea $S$ el conjunto de enteros positivos. Para cualquier $a$ y $b$ en el conjunto tenemos $GCD(a, b)>1$ . Para cualquier $a$ , $b$ y $c$ en el conjunto tenemos $GCD(a, b, c)=1$ . ¿Es posible que $S$ tenga $2012$ elementos? Propuesto por Ognjen Stipetić.

Sea $ABC$ un triángulo y $Q$ un punto en la bisectriz interna del ángulo $\angle BAC $. El círculo $\omega_1$ está circunscrito al triángulo $BAQ$ e interseca al segmento $AC$ en el punto $P \neq C$ . El círculo $\omega_2$ está circunscrito al triángulo $CQP$ . El radio del círculo $\omega_1$ es mayor que el radio de $\omega_2$ . El círculo centrado en $Q$ con radio $QA$ interseca al círculo $\omega_1$ en los puntos $A$ y $A_1$ . El círculo centrado en $Q$ con radio $QC$ interseca a $\omega_1$ en los puntos $C_1$ y $C_2$ . Demuestra que $\angle A_1BC_1 = \angle C_2PA $. Propuesto por Matija Bucić.

Sea $d$ un número real positivo. El escorpión intenta atrapar a la pulga en un tablero de ajedrez de $10\times 10$ . La longitud del lado de cada pequeño cuadrado del tablero de ajedrez es $1$ . En este juego, la pulga y el escorpión se mueven alternativamente. La pulga siempre está en uno de los $121$ vértices del tablero de ajedrez y, en cada turno, puede saltar desde el vértice donde está a uno de los vértices adyacentes. El escorpión se mueve en la línea del borde del tablero de ajedrez, y, en cada turno, puede caminar a lo largo de cualquier camino de longitud menor que $d$ . Al principio, la pulga está en el centro del tablero de ajedrez y el escorpión está en un punto que él elige en la línea del borde. La pulga es la primera en jugar. Se dice que la pulga escapa si alcanza un punto de la línea del borde, que el escorpión no puede alcanzar en el siguiente turno. Obviamente, para valores grandes de $d$ , el escorpión tiene una estrategia para evitar el escape de la pulga. ¿Para qué valores de $d$ puede escapar la pulga? Justifica tu respuesta.

Considera dos círculos, tangentes en $T$ , ambos inscritos en un rectángulo de altura $2$ y ancho $4$ . Un punto $E$ se mueve en sentido antihorario alrededor del círculo de la izquierda, y un punto $D$ se mueve en sentido horario alrededor del círculo de la derecha. $E$ y $D$ comienzan a moverse al mismo tiempo; $E$ comienza en $T$ , y $D$ comienza en $A$ , donde $A$ es el punto donde el círculo de la derecha se intersecta con el lado superior del rectángulo. Ambos puntos se mueven con la misma velocidad. Encuentra el lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos que unen $E$ y $D$ .

Cada uno de tres amigos, Mário, João y Filipe, practica uno, y solo uno, de los siguientes deportes: fútbol, baloncesto y natación. Ninguno de estos deportes es practicado por más de uno de los amigos. Cada uno de los amigos le gusta un cierto tipo de fruta: a uno le gustan las naranjas, a otro los plátanos y al otro las papayas. Encuentra, para cada uno, qué deporte practica y qué fruta prefiere, dado que:\n* Mário no le gustan las naranjas;\n* João no juega al fútbol;\n* El nadador odia los plátanos;\n* El nadador y al que le gustan las naranjas practican deportes diferentes;\n* Al que le gustan las papayas y el futbolista visitan a Filipe todos los sábados.

Considera una secuencia de triángulos equiláteros $T_{n}$ como se representa a continuación: [asy]\ndefaultpen(linewidth(0.8));size(350);\nreal r=sqrt(3);\npath p=origin--(2,0)--(1,sqrt(3))--cycle;\nint i,j,k;\nfor(i=1; i<5; i=i+1) {\nfor(j=0; j<i; j=j+1) {\nfor(k=0; k<j; k=k+1) {\ndraw(shift(5*i-5+(i-2)*(i-1)*1,0)*shift(2(j-k)+k, k*r)*p);\n}}}\n[/asy] La longitud del lado de los triángulos más pequeños es $1$ . Un triángulo se llama delta si su vértice está en la parte superior; por ejemplo, hay $10$ deltas en $T_{3}$ . Un delta se dice que es perfecto si la longitud de su lado es par. ¿Cuántos deltas perfectos hay en $T_{20}$ ?

Un entero no negativo $n$ se dice que es cuadrado digital si es igual al cuadrado de la suma de sus dígitos. Encuentra todos los enteros no negativos que son cuadrado digitales.