Se da un triángulo acutángulo $ ABC$ . Se toman los puntos $ A_1$ y $ A_2$ en el lado $ BC$ (con $ A_2$ entre $ A_1$ y $ C$ ) , $ B_1$ y $ B_2$ en el lado $ AC$ (con $ B_2$ entre $ B_1$ y $ A$ ) , y $ C_1$ y $ C_2$ en el lado $ AB$ (con $ C_2$ entre $ C_1$ y $ B$ ) de modo que \[ \angle AA_1A_2 = \angle AA_2A_1 = \angle BB_1B_2 = \angle BB_2B_1 = \angle CC_1C_2 = \angle CC_2C_1.\] Las líneas $ AA_1,BB_1,$ y $ CC_1$ delimitan un triángulo, y las líneas $ AA_2,BB_2,$ y $ CC_2$ delimitan un segundo triángulo. Demuestre que los seis vértices de estos dos triángulos se encuentran en un solo círculo.

El incírculo del triángulo $ \triangle ABC$ toca los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ en $ D, E, F$ respectivamente. $ X$ es un punto dentro del triángulo $ \triangle ABC$ tal que el incírculo del triángulo $ \triangle XBC$ toca $ BC$ en $ D$ , y toca $ CX$ y $ XB$ en $ Y$ y $ Z$ respectivamente. Demuestre que $ E, F, Z, Y$ son concíclicos.

Sean $ A, B$ y $ C$ puntos no colineales. Demuestre que existe un único punto $ X$ en el plano de $ ABC$ tal que \[ XA^2 + XB^2 + AB^2 = XB^2 + XC^2 + BC^2 = XC^2 + XA^2 + CA^2.\]

Sean $ A,B,C,D$ cuatro puntos distintos en una recta, en ese orden. Los círculos con diámetros $ AC$ y $ BD$ se intersecan en $ X$ y $ Y$ . La recta $ XY$ se encuentra con $ BC$ en $ Z$ . Sea $ P$ un punto en la recta $ XY$ diferente de $ Z$ . La recta $ CP$ interseca el círculo con diámetro $ AC$ en $ C$ y $ M$ , y la recta $ BP$ interseca el círculo con diámetro $ BD$ en $ B$ y $ N$ . Demuestre que las rectas $ AM,DN,XY$ son concurrentes.

Sea $ n$ un entero, $ n \geq 3.$ Sean $ a_1, a_2, \ldots, a_n$ números reales tales que $ 2 \leq a_i \leq 3$ para $ i = 1, 2, \ldots, n.$ Si $ s = a_1 + a_2 + \ldots + a_n,$ demuestra que \[ \frac{a^2_1 + a^2_2 - a^2_3}{a_1 + a_2 - a_3} + \frac{a^2_2 + a^2_3 - a^2_4}{a_2 + a_3 - a_4} + \ldots + \frac{a^2_n + a^2_1 - a^2_2}{a_n + a_1 - a_2} \leq 2s - 2n.\]

Sean $ a$ y $ b$ enteros no negativos tales que $ ab \geq c^2,$ donde $ c$ es un entero. Demuestra que existe un número $ n$ y enteros $ x_1, x_2, \ldots, x_n, y_1, y_2, \ldots, y_n$ tales que \[ \sum^n_{i=1} x^2_i = a, \sum^n_{i=1} y^2_i = b, \text{ y } \sum^n_{i=1} x_iy_i = c.\]

Sean $ a$, $ b$, $ c$ números reales positivos tales que $ abc = 1$. Demuestra que \[ \frac {1}{a^{3}(b + c)} + \frac {1}{b^{3}(c + a)} + \frac {1}{c^{3}(a + b)}\geq \frac {3}{2}.\]

Olja escribe $n$ enteros positivos $a_1, a_2, \ldots, a_n$ menores que $p_n$ donde $p_n$ denota el $n$ - ésimo número primo. Oleg puede elegir dos números (no necesariamente diferentes) $x$ e $y$ y reemplazar uno de ellos con su producto $xy$ . Si hay dos números iguales, Oleg gana. ¿Puede Oleg garantizar una victoria? Propuesto por Matko Ljulj.

Demuestra que la siguiente desigualdad se cumple para todos los números reales positivos $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ y $f$ \[\sqrt[3]{\frac{abc}{a+b+d}}+\sqrt[3]{\frac{def}{c+e+f}} < \sqrt[3]{(a+b+d)(c+e+f)} \text{.}\] Propuesto por Dimitar Trenevski.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ . Los segmentos $AH$ y $CH$ intersecan a los segmentos $BC$ y $AB$ en los puntos $A_1$ y $C_1$ respectivamente. Los segmentos $BH$ y $A_1C_1$ se encuentran en el punto $D$ . Sea $P$ el punto medio del segmento $BH$ . Sea $D'$ la reflexión del punto $D$ en $AC$ . Demuestra que el cuadrilátero $APCD'$ es cíclico. Propuesto por Matko Ljulj.