¿Existe una secuencia $ F(1), F(2), F(3), \ldots$ de enteros no negativos que satisfaga simultáneamente las siguientes tres condiciones? (a) Cada uno de los enteros $ 0, 1, 2, \ldots$ aparece en la secuencia. (b) Cada entero positivo aparece en la secuencia infinitamente a menudo. (c) Para cualquier $ n \geq 2,$ \[ F(F(n^{163})) = F(F(n)) + F(F(361)).\]

Sea $ p$ un primo impar. Determine enteros positivos $ x$ e $ y$ para los cuales $ x \leq y$ y $ \sqrt{2p} - \sqrt{x} - \sqrt{y}$ es no negativo y tan pequeño como sea posible.

¿Existe un entero $ n > 1$ que satisfaga la siguiente condición? El conjunto de enteros positivos se puede dividir en $ n$ subconjuntos no vacíos, de tal manera que una suma arbitraria de $ n - 1$ enteros, uno tomado de cada uno de los $ n - 1$ de los subconjuntos, se encuentra en el subconjunto restante.

Sea $ p$ un número primo impar. ¿Cuántos subconjuntos de $ p$ elementos $ A$ de $ \{1,2,\dots,2p\}$ hay, la suma de cuyos elementos es divisible por $ p$ ?

En una reunión de $ 12k$ personas, cada persona intercambia saludos con exactamente $ 3k+6$ otros. Para dos personas cualesquiera, el número que intercambia saludos con ambos es el mismo. ¿Cuántas personas hay en la reunión?

Encuentra todos los $ x,y$ y $ z$ en enteros positivos: $ z + y^{2} + x^{3} = xyz$ y $ x = \gcd(y,z)$ .

Suponga que $ ABCD$ es un cuadrilátero cíclico. Sea $ E = AC\cap BD$ y $ F = AB\cap CD$. Denotemos por $ H_{1}$ y $ H_{2}$ los ortocentros de los triángulos $ EAD$ y $ EBC$, respectivamente. Demuestre que los puntos $ F$, $ H_{1}$, $ H_{2}$ son colineales. Formulación original: Sea $ ABC$ un triángulo. Un círculo que pasa por $ B$ y $ C$ interseca los lados $ AB$ y $ AC$ nuevamente en $ C'$ y $ B'$, respectivamente. Demuestre que $ BB'$, $CC'$ y $ HH'$ son concurrentes, donde $ H$ y $ H'$ son los ortocentros de los triángulos $ ABC$ y $ AB'C'$ respectivamente.

Sea ABCD un cuadrilátero convexo y O un punto dentro de él. Sean las paralelas a las líneas BC, AB, DA, CD que pasan por el punto O y que se intersecan con los lados AB, BC, CD, DA del cuadrilátero ABCD en los puntos E, F, G, H, respectivamente. Entonces, demuestre que $ \sqrt {\left|AHOE\right|} + \sqrt {\left|CFOG\right|}\leq\sqrt {\left|ABCD\right|}$, donde $ \left|P_1P_2...P_n\right|$ es una abreviatura del área no dirigida de un polígono arbitrario $ P_1P_2...P_n$.

Sea $ A_1A_2A_3A_4$ un tetraedro, $ G$ su centroide, y $ A'_1, A'_2, A'_3,$ y $ A'_4$ los puntos donde la circunferencia circunscrita de $ A_1A_2A_3A_4$ interseca a $ GA_1,GA_2,GA_3,$ y $ GA_4,$ respectivamente. Demuestre que \[ GA_1 \cdot GA_2 \cdot GA_3 \cdot GA_ \cdot4 \leq GA'_1 \cdot GA'_2 \cdot GA'_3 \cdot GA'_4\] y \[ \frac{1}{GA'_1} + \frac{1}{GA'_2} + \frac{1}{GA'_3} + \frac{1}{GA'_4} \leq \frac{1}{GA_1} + \frac{1}{GA_2} + \frac{1}{GA_3} + \frac{1}{GA_4}.\]

Sea $ ABCDEF$ un hexágono convexo con $ AB = BC = CD$ y $ DE = EF = FA$, tal que $ \angle BCD = \angle EFA = \frac {\pi}{3}$. Suponga que $ G$ y $ H$ son puntos en el interior del hexágono tales que $ \angle AGB = \angle DHE = \frac {2\pi}{3}$. Demuestre que $ AG + GB + GH + DH + HE \geq CF$.