Determine todos los pares $(a,b)$ de números reales con $a\leqslant b$ que maximicen la integral $$\int_a^b e^{\cos (x)}(380-x-x^2) \mathrm{d} x.$$

Suponga que $x_1,x_2,x_3,\dotsc$ es una secuencia estrictamente decreciente de números reales positivos tal que la serie $x_1+x_2+x_3+\cdots$ diverge. ¿Es necesariamente cierto que la serie $\sum_{n=2}^{\infty}{\min \left\{ x_n,\frac{1}{n\log (n)}\right\} }$ diverge?

Para algún entero positivo $n$ , una moneda será lanzada $n$ veces para obtener una secuencia de $n$ caras y cruces. Para cada lanzamiento de la moneda, existe una probabilidad $p$ de obtener una cara y una probabilidad $1-p$ de obtener una cruz, donde $0<p<1$ es un número racional. Kim escribe todas las $2^n$ posibles secuencias de $n$ caras y cruces en dos columnas, con algunas secuencias en la columna izquierda y las secuencias restantes en la columna derecha. A Kim le gustaría que la secuencia producida por los lanzamientos de la moneda aparezca en la columna izquierda con probabilidad $1/2$ . Determine todos los pares $(n,p)$ para los cuales esto es posible.

Considere la operación $\ast$ que toma un par de enteros y devuelve un entero según la regla $$a\ast b=a\times (b+1).$$ Para cada entero positivo $n$ , determine todas las permutaciones $a_1,a_2,\dotsc , a_n$ del conjunto $\{ 1,2,\dotsc ,n\}$ que maximicen el valor de $$(\cdots ((a_1\ast a_2)\ast a_3) \ast \cdots \ast a_{n-1})\ast a_n.$$ Para cada entero positivo $n$ , determine todas las permutaciones $b_1,b_2,\dotsc , b_n$ del conjunto $\{ 1,2,\dotsc ,n\}$ que maximicen el valor de $$b_1\ast (b_2\ast (b_3\ast \cdots \ast (b_{n-1}\ast b_n)\cdots )).$$

Considere la secuencia de enteros positivos definida por $s_1,s_2,s_3, \dotsc $ de enteros positivos definida por $s_1=2$ , y para cada entero positivo $n$ , $s_{n+1}$ es igual a $s_n$ más el producto de factores primos de $s_n$ . Los primeros términos de la secuencia son $2,4,6,12,18,24$ . Demuestre que el producto de los $2019$ primos más pequeños es un término de la secuencia.

Sea $ \mathbb{N}$ denote el conjunto de todos los enteros positivos. Pruebe que existe una función única $ f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ que satisface \[ f(m + f(n)) = n + f(m + 95) \] para todos $ m$ y $ n$ en $ \mathbb{N}.$ ¿Cuál es el valor de $ \sum^{19}_{k = 1} f(k)?$

Para enteros positivos $ n,$ los números $ f(n)$ se definen inductivamente como sigue: $ f(1) = 1,$ y para cada entero positivo $ n,$ $ f(n+1)$ es el entero más grande $ m$ tal que existe una progresión aritmética de enteros positivos $ a_1 < a_2 < \ldots < a_m = n$ para la cual \[ f(a_1) = f(a_2) = \ldots = f(a_m).\] Pruebe que existen enteros positivos $ a$ y $ b$ tales que $ f(an+b) = n+2$ para cada entero positivo $ n.$

Suponga que $ x_1, x_2, x_3, \ldots$ son números reales positivos para los cuales \[ x^n_n = \sum^{n-1}_{j=0} x^j_n\] para $ n = 1, 2, 3, \ldots$ Pruebe que $ \forall n,$ \[ 2 - \frac{1}{2^{n-1}} \leq x_n < 2 - \frac{1}{2^n}.\]

Para un entero $x \geq 1$ , sea $p(x)$ el primo más pequeño que no divide a $x$ , y defina $q(x)$ como el producto de todos los primos menores que $p(x)$ . En particular, $p(1) = 2.$ Para $x$ teniendo $p(x) = 2$ , defina $q(x) = 1$ . Considere la secuencia $x_0, x_1, x_2, \ldots$ definida por $x_0 = 1$ y \[ x_{n+1} = \frac{x_n p(x_n)}{q(x_n)} \] para $n \geq 0$ . Encuentre todos los $n$ tales que $x_n = 1995$ .

Encuentre el valor máximo de $ x_{0}$ para el cual existe una secuencia $ x_{0},x_{1}\cdots ,x_{1995}$ de reales positivos con $ x_{0} = x_{1995}$ , tal que \[ x_{i - 1} + \frac {2}{x_{i - 1}} = 2x_{i} + \frac {1}{x_{i}}, \] para todo $ i = 1,\cdots ,1995$ .