Tanya y Serezha se turnan para colocar fichas en casillas vacías de un tablero de ajedrez. Tanya comienza con una ficha en una casilla arbitraria. En cada siguiente movimiento, Serezha debe poner una ficha en la columna donde Tanya puso su última ficha, mientras que Tanya debe poner una ficha en la fila donde Serezha puso su última ficha. El jugador que no puede hacer un movimiento pierde. ¿Cuál de los jugadores tiene una estrategia ganadora?

Sea $(a_n)$ definida por: $$ a_1 = 2, \qquad a_{n+1} = a_n^3 - a_n + 1 $$ Considere enteros positivos $n,p$, donde $p$ es un primo impar. Pruebe que si $p | a_n$, entonces $p > n$.

Dos círculos de radio $R$ y $r$, con $R>r$, son tangentes entre sí externamente. Los lados adyacentes a la base de un triángulo isósceles son tangentes comunes a estos círculos. La base del triángulo es tangente al círculo del radio mayor. Determine la longitud de la base del triángulo.

Sea $a$ un número real, tal que $a\ne 0, a\ne 1, a\ne -1$ y $m,n,p,q$ sean números naturales. Pruebe que si $a^m+a^n=a^p+a^q$ y $a^{3m}+a^{3n}=a^{3p}+a^{3q}$, entonces $m \cdot n = p \cdot q$.

En el centro de un cuadrado hay un conejo y en cada vértice de este cuadrado par, un lobo. Los lobos solo se mueven a lo largo de los lados del cuadrado y el conejo se mueve libremente en el plano. Sabiendo que el conejo se mueve a una velocidad de $10$ km / h y que los lobos se mueven a una velocidad máxima de $14$ km / h, determine si existe una estrategia para que el conejo salga del cuadrado sin ser atrapado por los lobos.

Determine todos los números de diez dígitos cuya representación decimal $\overline{a_0a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7a_8a_9}$ está dada por tal que para cada entero $j$ con $0\le j \le 9, a_j$ es igual al número de dígitos iguales a $j$ en esta representación. Es decir: el primer dígito es igual a la cantidad de '0' en la escritura de ese número, el segundo dígito es igual a la cantidad de '1' en la escritura de ese número, el tercer dígito es igual a la cantidad de '2' en la escritura de ese número, ... , el décimo dígito es igual al número de '9' en la escritura de ese número.

En un triángulo $ABC, L$ y $K$ son los puntos de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle ABC$ y $\angle BAC$ con los segmentos $AC$ y $BC$, respectivamente. El segmento $KL$ es bisectriz del ángulo $\angle AKC$, determine $\angle BAC$.

Una cadena binaria es una secuencia, cada uno de cuyos términos es $0$ o $1$ . Un conjunto $\mathcal{B}$ de cadenas binarias se define inductivamente de acuerdo con las siguientes reglas. La cadena binaria $1$ está en $\mathcal{B}$ . Si $s_1,s_2,\dotsc ,s_n$ está en $\mathcal{B}$ con $n$ impar, entonces tanto $s_1,s_2,\dotsc ,s_n,0$ como $0,s_1,s_2,\dotsc ,s_n$ están en $\mathcal{B}$ . Si $s_1,s_2,\dotsc ,s_n$ está en $\mathcal{B}$ con $n$ par, entonces tanto $s_1,s_2,\dotsc ,s_n,1$ como $1,s_1,s_2,\dotsc ,s_n$ están en $\mathcal{B}$ . Ninguna otra cadena binaria está en $\mathcal{B}$ . Para cada entero positivo $n$ , sea $b_n$ el número de cadenas binarias en $\mathcal{B}$ de longitud $n$ . Demuestre que existen constantes $c_1,c_2>0$ y $1.6<\lambda_1,\lambda_2<1.9$ tales que $c_1\lambda_1^n<b_n<c_2\lambda_2^n$ para todo entero positivo $n$ . Determine $\liminf_{n\to \infty} {\sqrt[n]{b_n}}$ y $\limsup_{n\to \infty} {\sqrt[n]{b_n}}$ Nota: El problema está abierto en el sentido de que actualmente no se conoce ninguna solución para la parte (b).

Sea $G$ un grafo simple finito y sea $k$ el número más grande de vértices de cualquier clique en $G$ . Suponga que etiquetamos cada vértice de $G$ con un número real no negativo, de modo que la suma de todas estas etiquetas sea $1$ . Defina el valor de una arista como el producto de las etiquetas de los dos vértices en sus extremos. Defina el valor de un etiquetado como la suma de los valores de las aristas. Demuestre que el valor máximo posible de un etiquetado de $G$ es $\frac{k-1}{2k}$ . (Un grafo simple finito es un grafo con finitamente muchos vértices, en el que cada arista conecta dos vértices distintos y no dos aristas conectan los mismos dos vértices. Una clique en un grafo es un conjunto de vértices en el que dos cualesquiera están conectados por una arista.)

Para cada número primo impar $p$ , demuestre que el entero $$1!+2!+3!+\cdots +p!-\left\lfloor \frac{(p-1)!}{e}\right\rfloor$$ es divisible por $p$ (Aquí, $e$ denota la base del logaritmo natural y $\lfloor x\rfloor$ denota el entero más grande que es menor o igual que $x$ . )