Demuestre que $N^2$ enteros positivos distintos arbitrarios ( $N>10$ ) pueden ser dispuestos en una tabla de $N\times N$, de modo que las $2N$ sumas en filas y columnas sean distintas.

Se da un rectángulo $ABCD$. El segmento $DK$ es igual a $BD$ y se encuentra en la semirrecta $DC$. $M$ es el punto medio de $BK$. Demuestre que $AM$ es la bisectriz del ángulo $\angle BAC$.

Tanya y Serezha se turnan para colocar fichas en casillas vacías de un tablero de ajedrez. Tanya comienza con una ficha en una casilla arbitraria. En cada siguiente movimiento, Serezha debe poner una ficha en la columna donde Tanya puso su última ficha, mientras que Tanya debe poner una ficha en la fila donde Serezha puso su última ficha. El jugador que no puede hacer un movimiento pierde. ¿Cuál de los jugadores tiene una estrategia ganadora?

Los enteros no divisibles por $2012$ están dispuestos en los arcos de un grafo orientado. Llamamos peso de un vértice a la diferencia entre la suma de los números en los arcos que entran en él y la suma de los números en los arcos que salen de él. Se sabe que el peso de cada vértice es divisible por $2012$. Demuestre que se pueden disponer enteros no nulos con valores absolutos que no excedan $2012$ en los arcos de este grafo, de modo que el peso de cada vértice sea cero.

Demuestre que para cualquier número real $a,b,c$ que satisfaga $abc = 1$, la siguiente desigualdad se cumple \[\dfrac{1} {2a^2+b^2+3}+\dfrac {1} {2b^2+c^2+3}+\dfrac{1} {2c^2+a^2+3}\leq \dfrac {1} {2}.\]

El cuadrilátero $ABCD$ es cíclico y circunscrito. Su incírculo toca sus lados $AB$ y $CD$ en los puntos $X$ e $Y$, respectivamente. Las perpendiculares a $AB$ y $CD$ trazadas en $A$ y $D$, respectivamente, se encuentran en el punto $U$; las trazadas en $X$ e $Y$ se encuentran en el punto $V$, y finalmente, las trazadas en $B$ y $C$ se encuentran en el punto $W$. Demuestre que los puntos $U$, $V$ y $W$ son colineales.

Resuelva en enteros positivos la siguiente ecuación: \\[{1\over n^2}-{3\over 2n^3}={1\over m^2}\]

Sea $p=4k+3$ un número primo. Demuestre que si \[\dfrac {1} {0^2+1}+\dfrac{1}{1^2+1}+\cdots+\dfrac{1}{(p-1)^2+1}=\dfrac{m} {n}\] (donde la fracción $\dfrac {m} {n}$ está en términos reducidos), entonces $p \mid 2m-n$.

Se toma un punto $P$ en el interior del triángulo $ABC$, de modo que \[\angle PAB = \angle PCB = \dfrac {1} {4} (\angle A + \angle C).\] Sea $L$ el pie de la bisectriz del ángulo $\angle B$. La línea $PL$ se encuentra con la circunferencia circunscrita de $\triangle APC$ en el punto $Q$. Demuestre que $QB$ es la bisectriz del ángulo $\angle AQC$.

Sea $P(x)$ un trinomio cuadrático real, de modo que para todo $x\in \mathbb{R}$ la desigualdad $P(x^3+x)\geq P(x^2+1)$ se cumple. Encuentre la suma de las raíces de $P(x)$.