Un punto reticular en el plano es un punto cuyas coordenadas son enteras. Cada punto reticular tiene cuatro puntos vecinos: superior, inferior, izquierdo y derecho. Sea $k$ un círculo con radio $r \geq 2$, que no pasa por ningún punto reticular. Un punto de frontera interior es un punto reticular que se encuentra dentro del círculo $k$ que tiene un punto vecino que se encuentra fuera de $k$. Del mismo modo, un punto de frontera exterior es un punto reticular que se encuentra fuera del círculo $k$ que tiene un punto vecino que se encuentra dentro de $k$. Demuestre que hay cuatro puntos de frontera exteriores más que puntos de frontera interiores.

Se nos dan $n$ puntos en el espacio. Algunos pares de estos puntos están conectados por segmentos de línea de manera que el número de segmentos es igual a $[n^2/4]$, y existe un triángulo conectado. Demuestre que cualquier punto desde el cual comienza el número máximo de segmentos es un vértice de un triángulo conectado.

En una compañía de $n$ personas, cada persona no tiene más de $d$ conocidos, y en esa compañía existe un grupo de $k$ personas, $k\ge d$, que no se conocen entre sí. Demuestre que el número de pares de conocidos no es mayor que $\left[ \frac{n^2}{4}\right]$.

Encuentra todas las funciones $f : \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ que satisfacen la siguiente condición: \[f(n+1)>f(f(n)), \quad \forall n \in \mathbb{N}.\]

Un pentágono $ABCDE$ inscrito en un círculo para el cual $BC<CD$ y $AB<DE$ es la base de una pirámide con vértice $S$. Si $AS$ es la arista más larga que comienza desde $S$, demuestre que $BS>CS$.

$25$ pequeños burros están de pie en una fila; el más a la derecha de ellos es Igor. Winnie-the-Pooh quiere dar un globo de uno de los siete colores del arco iris a cada burro, de modo que los burros sucesivos reciban globos de diferentes colores, y de modo que al menos un globo de cada color se dé a algún burro. Igor quiere dar a cada uno de los $24$ burros restantes una olla de uno de los seis colores del arco iris (excepto el rojo), de modo que al menos una olla de cada color se dé a algún burro (pero los burros sucesivos pueden recibir ollas del mismo color). ¿Cuál de los dos amigos tiene más formas de implementar su plan, y cuántas veces más? Igor es un personaje de los libros de Winnie-the-Pooh de A. A. Milne. Generalmente se le representa como un burro de peluche viejo, gris, deprimido, pesimista y sombrío, que es amigo del personaje titular, Winnie-the-Pooh. Su nombre es una representación onomatopéyica del sonido de rebuzno hecho por un burro normal. Por supuesto, Winnie-the-Pooh es un oso antropomórfico ficticio.

Un círculo está contenido en un cuadrilátero con lados sucesivos de longitudes $3,6,5$ y $8$. Demuestre que la longitud de su radio es menor que $3$.

Resuelva en enteros positivos la siguiente ecuación: \\[{1\over n^2}-{3\over 2n^3}={1\over m^2}\]

Los vértices de un $2012$-gono regular están etiquetados $A_1,A_2,\ldots, A_{2012}$ en algún orden. Se sabe que si $k+\ell$ y $m+n$ dejan el mismo residuo cuando se dividen por $2012$, entonces las cuerdas $A_kA_{\ell}$ y $A_mA_n$ no tienen puntos en común. Vasya camina alrededor del polígono y ve que los dos primeros vértices están etiquetados $A_1$ y $A_4$. ¿Cómo está etiquetado el décimo vértice?

Sea $p=1601$. Demuestre que si \[\dfrac {1} {0^2+1}+\dfrac{1}{1^2+1}+\cdots+\dfrac{1}{(p-1)^2+1}=\dfrac{m} {n},\] donde solo sumamos sobre términos con denominadores no divisibles por $p$ (y la fracción $\dfrac {m} {n}$ está en términos reducidos) entonces $p \mid 2m+n$.