Sea $n$ un entero mayor que $1$. En el sistema de coordenadas cartesianas consideramos todos los cuadrados con vértices enteros $(x,y)$ tales que $1\le x,y\le n$. Denotemos por $p_k\ (k=0,1,2,\ldots )$ el número de pares de puntos que son vértices de exactamente $k$ tales cuadrados. Demuestre que $\sum_k(k-1)p_k=0$.

Hay $2^n$ palabras de longitud $n$ sobre el alfabeto $\{0, 1\}$. Demuestre que el siguiente algoritmo genera la secuencia $w_0, w_1, \ldots, w_{2^n-1}$ de todas estas palabras de tal manera que dos palabras consecutivas cualesquiera difieren en exactamente un dígito.\n(1) $w_0 = 00 \ldots 0$ ( $n$ ceros).\n(2) Suponga que $w_{m-1} = a_1a_2 \ldots a_n,\quad a_i \in \{0, 1\}$. Sea $e(m)$ el exponente de $2$ en la representación de $n$ como producto de primos, y sea $j = 1 + e(m)$. Reemplace el dígito $a_j$ en la palabra $w_{m-1}$ por $1 - a_j$. La palabra obtenida es $w_m$.

Describa todas las figuras cerradas acotadas $\Phi$ en el plano, dos puntos cualesquiera de las cuales se pueden conectar mediante un semicírculo que se encuentra en $\Phi$.

Sea $z$ un entero $> 1$ y sea $M$ el conjunto de todos los números de la forma $z_k = 1+z + \cdots+ z^k, \ k = 0, 1,\ldots$. Determine el conjunto $T$ de divisores de al menos uno de los números $z_k$ de $M$.

Sean $n$ y $z$ enteros mayores que $1$ y $(n,z)=1$. Demuestre:\n(a) Al menos uno de los números $z_i=1+z+z^2+\cdots +z^i, i=0,1,\ldots ,n-1,$ es divisible por $n$.\n(b) Si $(z-1,n)=1$, entonces al menos uno de los números $z_i$ es divisible por $n$.

Sean $a,b$ dos números naturales. Cuando dividimos $a^2+b^2$ por $a+b$ , obtenemos el residuo $r$ y el cociente $q.$ Determina todos los pares $(a, b)$ para los cuales $q^2 + r = 1977.$

Sea $ABCD$ un tetraedro regular y $\mathbf{Z}$ una isometría que mapea $A,B,C,D$ en $B,C,D,A$ , respectivamente. Encuentra el conjunto $M$ de todos los puntos $X$ de la cara $ABC$ cuya distancia desde $\mathbf{Z}(X)$ es igual a un número dado $t$ . Encuentra las condiciones necesarias y suficientes para que el conjunto $M$ no esté vacío.

Un hexaedro $ABCDE$ está hecho de dos tetraedros regulares congruentes $ABCD$ y $ABCE.$ Demuestra que existe sólo una isometría $\mathbf Z$ que mapea los puntos $A, B, C, D, E$ en $B, C, A, E, D,$ respectivamente. Encuentra todos los puntos $X$ en la superficie del hexaedro cuya distancia desde $\mathbf Z(X)$ es mínima.

Demuestra la siguiente afirmación: Si $c_1,c_2,\ldots ,c_n\ (n\ge 2)$ son números reales tales que \[ (n-1)(c_1^2+c_2^2+\cdots +c_n^2)=(c_1+c_2+\cdots + c_n)^2,\] entonces o todos estos números son no negativos o todos estos números son no positivos.

Sean $x_1, x_2, \ldots , x_n \ (n \geq 1)$ números reales tales que $0 \leq x_j \leq \pi, \ j = 1, 2,\ldots, n.$ Demuestra que si $\sum_{j=1}^n (\cos x_j +1) $ es un entero impar, entonces $\sum_{j=1}^n \sin x_j \geq 1.$