Prueba la identidad \[ (z+a)^n=z^n+a\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}(a-kb)^{k-1}(z+kb)^{n-k}\]

Determine todas las funciones reales $f(x)$ que están definidas y son continuas en el intervalo $(-1, 1)$ y que satisfacen la ecuación funcional \[f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-f(x) f(y)} \qquad (x, y, x + y \in (-1, 1)).\]

¿Para qué enteros positivos $n$ existen dos polinomios $f$ y $g$ con coeficientes enteros de $n$ variables $x_1, x_2, \ldots , x_n$ tales que se satisface la siguiente igualdad: \[\sum_{i=1}^n x_i f(x_1, x_2, \ldots , x_n) = g(x_1^2, x_2^2, \ldots , x_n^2) \ ?\]

Sea $S$ un cuadrilátero convexo $ABCD$ y $O$ un punto dentro de él. Los pies de las perpendiculares desde $O$ a $AB, BC, CD, DA$ son $A_1, B_1, C_1, D_1$ respectivamente. Los pies de las perpendiculares desde $O$ a los lados de $S_i$ , el cuadrilátero $A_iB_iC_iD_i$ , son $A_{i+1}B_{i+1}C_{i+1}D_{i+1}$ , donde $i = 1, 2, 3.$ Pruebe que $S_4$ es similar a S.

Dado que $x_1+x_2+x_3=y_1+y_2+y_3=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3=0,$ pruebe que: \[ \frac{x_1^2}{x_1^2+x_2^2+x_3^2}+\frac{y_1^2}{y_1^2+y_2^2+y_3^2}=\frac{2}{3}\]

Sean $a,b,A,B$ números reales dados. Consideramos la función definida por\n\[ f(x) = 1 - a \cdot \cos(x) - b \cdot \sin(x) - A \cdot \cos(2x) - B \cdot \sin(2x). \]\nPruebe que si para cualquier número real $x$ tenemos $f(x) \geq 0$ entonces $a^2 + b^2 \leq 2$ y $A^2 + B^2 \leq 1.$

Dado cualquier entero $m>1$, demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que los últimos $m$ dígitos de $5^n$ son una secuencia $a_m,a_{m-1},\ldots ,a_1=5\ (0\le a_j<10)$ en la que cada dígito, excepto el último, es de paridad opuesta a su sucesor (es decir, si $a_i$ es par, entonces $a_{i-1}$ es impar, y si $a_i$ es impar, entonces $a_{i-1}$ es par).

Dado un triángulo isósceles $ABC$ con un ángulo recto en $C$, construya el centro $M$ y el radio $r$ de un círculo que corta en los segmentos $AB, BC, CA$ los segmentos $DE, FG$ y $HK$, respectivamente, tales que $\angle DME + \angle FMG + \angle HMK = 180^\circ$ y $DE : FG : HK = AB : BC : CA.$

Una bola $K$ de radio $r$ es tocada desde el exterior por bolas mutuamente iguales de radio $R$. Dos de estas bolas son tangentes entre sí. Además, para dos bolas $K_1$ y $K_2$ tangentes a $K$ y tangentes entre sí, existen otras dos bolas tangentes a $K_1, K_2$ y también a $K$. ¿Cuántas bolas son tangentes a $K$? Para un $r$ dado, determine $R$.

Sea $n$ un entero positivo. ¿Cuántas soluciones enteras $(i, j, k, l), \ 1 \leq i, j, k, l \leq n$, tiene el siguiente sistema de desigualdades:\n\[1 \leq -j + k + l \leq n\]\n\[1 \leq i - k + l \leq n\]\n\[1 \leq i - j + l \leq n\]\n\[1 \leq i + j - k \leq n \ ?\]