Encuentre todos los números $N=\overline{a_1a_2\ldots a_n}$ para los cuales $9\times \overline{a_1a_2\ldots a_n}=\overline{a_n\ldots a_2a_1}$ tal que a lo sumo uno de los dígitos $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ es cero.

Sea $B$ un conjunto de $k$ secuencias, cada una con $n$ términos iguales a $1$ o $-1$. El producto de dos de tales secuencias $(a_1, a_2, \ldots , a_n)$ y $(b_1, b_2, \ldots , b_n)$ se define como $(a_1b_1, a_2b_2, \ldots , a_nb_n)$. Demuestre que existe una secuencia $(c_1, c_2, \ldots , c_n)$ tal que la intersección de $B$ y el conjunto que contiene todas las secuencias de $B$ multiplicadas por $(c_1, c_2, \ldots , c_n)$ contiene a lo sumo $\frac{k^2}{2^n}$ secuencias.

Se da un círculo $K$ centrado en $(0,0)$. Demuestre que para cada vector $(a_1,a_2)$ existe un entero positivo $n$ tal que el círculo $K$ trasladado por el vector $n(a_1,a_2)$ contiene un punto reticular (es decir, un punto cuyas coordenadas son enteras).

En una habitación hay nueve hombres. Entre cada tres de ellos, hay dos que se conocen mutuamente. Demuestre que algunos cuatro de ellos se conocen mutuamente.

Sea $f$ una función definida en el conjunto de pares de números racionales no nulos cuyos valores son números reales positivos. Suponga que $f$ satisface las siguientes condiciones: (1) $f(ab,c)=f(a,c)f(b,c), f(c,ab)=f(c,a)f(c,b);$ (2) $f(a,1-a)=1$. Demuestre que $f(a,a)=f(a,-a)=1, f(a,b)f(b,a)=1$.

Se da un triángulo $ABC$ con $\angle A = 30^\circ$ y $\angle C = 54^\circ$. En $BC$ se elige un punto $D$ tal que $ \angle CAD = 12^\circ.$ En $AB$ se elige un punto $E$ tal que $\angle ACE = 6^\circ.$ Sea $S$ el punto de intersección de $AD$ y $CE.$ Demuestre que $BS = BC.$

En el interior de un cuadrado $ABCD$ construimos los triángulos equiláteros $ABK, BCL, CDM, DAN.$ Demuestre que los puntos medios de los cuatro segmentos $KL, LM, MN, NK$ y los puntos medios de los ocho segmentos $AK, BK, BL, CL, CM, DM, DN, AN$ son los 12 vértices de un dodecágono regular.

Sea $n$ un entero mayor que $1$ . Definimos \[x_1 = n, y_1 = 1, x_{i+1} =\left[ \frac{x_i+y_i}{2}\right] , y_{i+1} = \left[ \frac{n}{x_{i+1}}\right], \qquad \text{para }i = 1, 2, \ldots\ ,] donde $[z]$ denota el mayor entero menor o igual a $z$ . Demuestre que \[ \min \{x_1, x_2, \ldots, x_n \} =[ \sqrt n ]\]

Sea $n$ un número dado mayor que 2. Consideramos el conjunto $V_n$ de todos los enteros de la forma $1 + kn$ con $k = 1, 2, \ldots$ Un número $m$ de $V_n$ se llama indescomponible en $V_n$ si no hay dos números $p$ y $q$ de $V_n$ de modo que $m = pq$. Demuestre que existe un número $r \in V_n$ que puede expresarse como el producto de elementos indescomponibles en $V_n$ de más de una manera. (Las expresiones que difieren sólo en el orden de los elementos de $V_n$ se considerarán iguales.)

Sea $p$ un número primo mayor que $5$. Sea $V$ la colección de todos los enteros positivos $n$ que pueden escribirse en la forma $n = kp + 1$ o $n = kp - 1 \ (k = 1, 2, \ldots)$. Un número $n \in V$ se llama indescomponible en $V$ si es imposible encontrar $k, l \in V$ tales que $n = kl$. Demuestre que existe un número $N \in V$ que puede ser factorizado en factores indescomponibles en $V$ de más de una manera.