Sea $E$ un conjunto finito de puntos tal que $E$ no está contenido en un plano y no hay tres puntos de $E$ que sean colineales. Demuestra que al menos una de las siguientes alternativas se cumple: (i) $E$ contiene cinco puntos que son vértices de una pirámide convexa que no tiene otros puntos en común con $E;$ (ii) algún plano contiene exactamente tres puntos de $E.$

Sea $E$ un conjunto finito de puntos en el espacio tal que $E$ no está contenido en un plano y no hay tres puntos de $E$ que sean colineales. Demuestra que $E$ contiene los vértices de un tetraedro $T = ABCD$ tal que $T \cap E = \{A,B,C,D\}$ (incluyendo los puntos interiores de $T$) y tal que la proyección de $A$ sobre el plano $BCD$ está dentro de un triángulo que es similar al triángulo $BCD$ y cuyos lados tienen puntos medios $B,C,D.$

Evalúa \[S=\sum_{k=1}^n k(k+1)\ldots (k+p), \] donde $n$ y $p$ son enteros positivos.

La sucesión $a_{n,k} \ , k = 1, 2, 3,\ldots, 2^n \ , n = 0, 1, 2,\ldots,$ está definida por la siguiente fórmula de recurrencia: \[a_1 = 2,\qquad a_{n,k} = 2a_{n-1,k}^3, \qquad , a_{n,k+2^{n-1}} =\frac 12 a_{n-1,k}^3\] \[\text{para} \quad k = 1, 2, 3,\ldots, 2^{n-1} \ , n = 0, 1, 2,\ldots\] Demuestra que los números $a_{n,k}$ son todos diferentes.

Una rueda consiste en un disco circular fijo y un anillo circular móvil. En el disco están marcados los números $1, 2, 3, \ldots ,N$, y en el anillo están marcados $N$ enteros $a_1,a_2,\ldots ,a_N$ cuya suma es $1$. El anillo se puede girar en $N$ posiciones diferentes en las que los números del disco y del anillo coinciden. Multiplica cada número del anillo por el número correspondiente del disco y forma la suma de $N$ productos. De esta manera se obtiene una suma para cada posición del anillo. Demuestra que las $N$ sumas son diferentes.

Los números $1, 2, 3,\ldots , 64$ se colocan en un tablero de ajedrez, un número en cada casilla. Considere todos los cuadrados en el tablero de ajedrez de tamaño $2 \times 2.$ Demuestre que hay al menos tres de estos cuadrados para los cuales la suma de los $4$ números contenidos excede $100.$

Considere $37$ puntos distintos en el espacio, todos con coordenadas enteras. Demuestre que podemos encontrar entre ellos tres puntos distintos tales que su baricentro tenga coordenadas enteras.

Sean $m_j > 0$ para $j = 1, 2,\ldots, n$ y $a_1 \leq \cdots \leq a_n < b_1 \leq \cdots \leq b_n < c_1 \leq \cdots \leq c_n$ números reales. Demuestre que \[\Biggl( \sum_{j=1}^{n} m_j(a_j+b_j+c_j) \Biggr)^2 > 3 \Biggl( \sum_{j=1}^{n} m_j \Biggr) \Biggl( \sum_{j=1}^{n} m_j(a_jb_j+b_jc_j+c_ja_j) \Biggr).\]

Sean $A_1,A_2,\ldots ,A_{n+1}$ enteros positivos tales que $(A_i,A_{n+1})=1$ para cada $i=1,2,\ldots ,n$ . Demuestre que la ecuación \[x_1^{A_1}+x_2^{A_2}+\ldots + x_n^{A_n}=x_{n+1}^{A_{n+1} }\] tiene un conjunto infinito de soluciones $(x_1,x_2,\ldots , x_{n+1})$ en enteros positivos.

Considere una secuencia de números $(a_1, a_2, \ldots , a_{2^n}).$ Defina la operación \[S\biggl((a_1, a_2, \ldots , a_{2^n})\biggr) = (a_1a_2, a_2a_3, \ldots , a_{2^{n-1}a_{2^n}, a_{2^n}a_1).}\] Demuestre que cualquiera que sea la secuencia $(a_1, a_2, \ldots , a_{2^n})$, con $a_i \in \{-1, 1\}$ para $i = 1, 2, \ldots , 2^n,$ después de un número finito de aplicaciones de la operación obtenemos la secuencia $(1, 1, \ldots, 1).$