A través de un punto $O$ en la diagonal $BD$ de un paralelogramo $ABCD$ , se dibujan segmentos $MN$ paralelos a $AB$ , y $PQ$ paralelos a $AD$ , con $M$ en $AD$ , y $Q$ en $AB$ . Demuestra que las diagonales $AO,BP,DN$ (extendidas si es necesario) serán concurrentes.

Si $0 \leq a \leq b \leq c \leq d,$ demuestra que \[a^bb^cc^dd^a \geq b^ac^bd^ca^d.\]

Encuentra todos los pares de enteros $a$ y $b$ para los cuales \[7a+14b=5a^2+5ab+5b^2\]

Se trazan dos cuerdas perpendiculares que pasan por un punto interior dado $P$ de un círculo de radio $R$. Determine, con prueba, el máximo y el mínimo de la suma de las longitudes de estas dos cuerdas si la distancia de $P$ al centro del círculo es $kR$.

Se dan varios segmentos, que llamaremos blancos, y la suma de sus longitudes es $1$. Se dan varios otros segmentos, que llamaremos negros, y la suma de sus longitudes es $1$. Demuestra que cada sistema de segmentos puede ser distribuido en el segmento de longitud $1.51$ de la siguiente manera: Los segmentos del mismo color son disjuntos, y los segmentos de diferentes colores son o bien disjuntos o uno está dentro del otro. Demuestra que existe un sistema que no puede ser distribuido de esa manera en el segmento de longitud $1.49$.

Determine todos los enteros positivos $n$ para los cuales existe un polinomio $P_n(x)$ de grado $n$ con coeficientes enteros que es igual a $n$ en $n$ puntos enteros diferentes y que es igual a cero en cero.

Encuentre todos los pares de enteros $(p,q)$ para los cuales todas las raíces de los trinomios $x^2+px+q$ y $x^2+qx+p$ son enteros.

La intersección de un plano con un tetraedro regular de lado $a$ es un cuadrilátero con perímetro $P$. Pruebe que $2a \leq P \leq 3a$.

Se da un cuadrado $ABCD$. Una línea que pasa por $A$ intersecta $CD$ en $Q$. Trace una línea paralela a $AQ$ que intersecta la frontera del cuadrado en los puntos $M$ y $N$ tal que el área del cuadrilátero $AMNQ$ sea máxima.

Sea $f$ una función estrictamente creciente definida en el conjunto de los números reales. Para $x$ real y $t$ positivo, sea \[g(x,t)=\frac{f(x+t)-f(x)}{f(x) - f(x - t)}.\] Asuma que las desigualdades \[2^{-1} < g(x, t) < 2\] se cumplen para todo $t$ positivo si $x = 0$, y para todo $t \leq |x|$ en caso contrario. Demuestre que \[ 14^{-1} < g(x, t) < 14\] para todo $x$ real y $t$ positivo.