Decimos que dos vértices de un polígono simple son visibles entre sí si son adyacentes, o si el segmento que los une está completamente dentro del polígono (excepto dos puntos finales que se encuentran en el límite). Encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que exista un polígono simple con $n$ vértices en el que cada vértice es visible desde exactamente $4$ otros vértices. (Un polígono simple es un polígono sin agujero que no se cruza a sí mismo.)

Sea $P$ un punto arbitrario en el interior del triángulo $\triangle ABC$ . Las líneas $\overline{BP}$ y $\overline{CP}$ intersecan $\overline{AC}$ y $\overline{AB}$ en $E$ y $F$ , respectivamente. Sean $K$ y $L$ los puntos medios de los segmentos $BF$ y $CE$ , respectivamente. Sean las líneas que pasan por $L$ y $K$ paralelas a $\overline{CF}$ y $\overline{BE}$ que intersecan $\overline{BC}$ en $S$ y $T$ , respectivamente; además, denote por $M$ y $N$ la reflexión de $S$ y $T$ sobre los puntos $L$ y $K$ , respectivamente. Pruebe que cuando $P$ se mueve en el interior del triángulo $\triangle ABC$ , la línea $\overline{MN}$ pasa por un punto fijo.

De acuerdo con la figura, tres triángulos equiláteros con longitudes de lado $a,b,c$ tienen un vértice común y no tienen ningún otro punto común. Las longitudes $x, y$ , y $z$ se definen como en la figura. Pruebe que $3(x+y+z)>2(a+b+c)$ .

Se da un paralelogramo $ABCD$ ( $AB \neq BC$ ) . Los puntos $E$ y $G$ se eligen en la línea $\overline{CD}$ de tal manera que $\overline{AC}$ es la bisectriz de los ángulos $\angle EAD$ y $\angle BAG$ . La línea $\overline{BC}$ interseca a $\overline{AE}$ y $\overline{AG}$ en $F$ y $H$ , respectivamente. Pruebe que la línea $\overline{FG}$ pasa por el punto medio de $HE$ .

Por un pliegue de un papel con forma de polígono, nos referimos a dibujar un segmento en el papel y doblar el papel a lo largo de ese segmento. Suponga que se da un papel con la siguiente figura. Cortamos el papel a lo largo del borde de la región sombreada para obtener un papel con forma de polígono. Comience con este polígono sombreado y haga un papel con forma de rectángulo a partir de él con como máximo 5 número de pliegues. Describa su solución introduciendo las líneas de plegado y dibujando la forma después de cada pliegue en su hoja de solución. (Tenga en cuenta que las líneas de plegado no tienen que coincidir con las líneas de la cuadrícula de la forma).

Suponga que $x_0, x_1, \ldots , x_n$ son enteros y $x_0 > x_1 > \cdots > x_n.$ Demuestre que al menos uno de los números $|F(x_0)|, |F(x_1)|, |F(x_2)|, \ldots, |F(x_n)|,$ donde $F(x) = x^n + a_1x^{n-1} + \cdots+ a_n, \quad a_i \in \mathbb R, \quad i = 1, \ldots , n,$ es mayor que $\frac{n!}{2^n}.$

Sea $E$ un conjunto de $n$ puntos en el plano $(n \geq 3)$ cuyas coordenadas son enteros tales que tres puntos cualesquiera de $E$ son vértices de un triángulo no degenerado cuyo centroide no tiene ambas coordenadas enteras. Determina el $n$ máximo.

Demuestra que para todo triángulo se cumple la siguiente desigualdad: \[\frac{ab+bc+ca}{4S} \geq \cot \frac{\pi}{6}.\] donde $a, b, c$ son las longitudes de los lados y $S$ es el área del triángulo.

En una secuencia finita de números reales, la suma de siete términos sucesivos cualesquiera es negativa y la suma de once términos sucesivos cualesquiera es positiva. Determina el número máximo de términos en la secuencia.

Los cuatro circuncírculos de las cuatro caras de un tetraedro tienen radios iguales. Demuestra que las cuatro caras del tetraedro son triángulos congruentes.