Considere un triángulo acutángulo $\triangle ABC$ ( $AC>AB$ ) con su ortocentro $H$ y circunferencia circunscrita $\Gamma$ . Los puntos $M$ , $P$ son los puntos medios de $BC$ y $AH$ respectivamente. La línea $\overline{AM}$ se encuentra con $\Gamma$ nuevamente en $X$ y el punto $N$ se encuentra en la línea $\overline{BC}$ de modo que $\overline{NX}$ es tangente a $\Gamma$ . Los puntos $J$ y $K$ se encuentran en el círculo con diámetro $MP$ tal que $\angle AJP=\angle HNM$ ( $B$ y $J$ se encuentran en un mismo lado de $\overline{AH}$ ) y el círculo $\omega_1$ , que pasa por $K,H$ , y $J$ , y el círculo $\omega_2$ que pasa por $K,M$ , y $N$ , son externamente tangentes entre sí. Pruebe que las tangentes externas comunes de $\omega_1$ y $\omega_2$ se encuentran en la línea $\overline{NH}$ .

Se da el cuadrilátero circunscrito convexo $ABCD$ con su incentro $I$ tal que su incírculo es tangente a $\overline{AD},\overline{DC},\overline{CB},$ y $\overline{BA}$ en $K,L,M,$ y $N$ . Las líneas $\overline{AD}$ y $\overline{BC}$ se encuentran en $E$ y las líneas $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ se encuentran en $F$ . Sea $\overline{KM}$ interseca a $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ en $X,Y$ , respectivamente. Sea $\overline{LN}$ interseca a $\overline{AD}$ y $\overline{BC}$ en $Z,T$ , respectivamente. Pruebe que la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle XFY$ y el círculo con diámetro $EI$ son tangentes si y solo si la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle TEZ$ y el círculo con diámetro $FI$ son tangentes.

Suponga que tres círculos están mutuamente fuera uno del otro con la propiedad de que cada línea que separa dos de ellos tiene intersección con el interior del tercero. Pruebe que la suma de las distancias por pares entre sus centros es como máximo $2\sqrt{2}$ veces la suma de sus radios. (Una línea separa dos círculos, siempre que los círculos no tengan intersección con la línea y estén en diferentes lados de ella.) Nota. Los resultados más débiles con $2\sqrt{2}$ reemplazados por algún otro $c$ pueden recibir puntos dependiendo del valor de $c>2\sqrt{2}$

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo con su incentro $I$ . Suponga que $N$ es el punto medio del arco $\overarc{BAC}$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle ABC$ , y $P$ es un punto tal que $ABPC$ es un paralelogramo. Sea $Q$ la reflexión de $A$ sobre $N$ y $R$ la proyección de $A$ sobre $\overline{QI}$ . Demuestre que la línea $\overline{AI}$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle PQR$

Sean $M,N,P$ los puntos medios de $BC,AC$ y $AB$ del triángulo $\triangle ABC$ respectivamente. $E$ y $F$ son dos puntos en el segmento $\overline{BC}$ de modo que $\angle NEC = \frac{1}{2} \angle AMB$ y $\angle PFB = \frac{1}{2} \angle AMC$ . Pruebe que $AE=AF$ .

Encuentre todos los números $n \geq 4$ tales que exista un poliedro convexo con exactamente $n$ caras, cuyas caras son triángulos rectángulos. (Tenga en cuenta que el ángulo entre cualquier par de caras adyacentes en un poliedro convexo es menor que $180^\circ$ . )

Se da el triángulo $ABC$ . Un círculo arbitrario con centro $J$ , que pasa por $B$ y $C$ , interseca los lados $AC$ y $AB$ en $E$ y $F$ , respectivamente. Sea $X$ un punto tal que el triángulo $FXB$ es similar al triángulo $EJC$ (con el mismo orden) y los puntos $X$ y $C$ se encuentran en el mismo lado de la línea $AB$ . Del mismo modo, sea $Y$ un punto tal que el triángulo $EYC$ es similar al triángulo $FJB$ (con el mismo orden) y los puntos $Y$ y $B$ se encuentran en el mismo lado de la línea $AC$ . Pruebe que la línea $XY$ pasa por el ortocentro del triángulo $ABC$ .

En el triángulo acutángulo $ABC$ ( $AC > AB$ ) , el punto $H$ es el ortocentro y el punto $M$ es el punto medio del segmento $BC$ . La mediana $AM$ interseca la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en $X$ . La línea $CH$ interseca la bisectriz perpendicular de $BC$ en $E$ y la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ nuevamente en $F$ . El punto $J$ se encuentra en el círculo $\omega$ , que pasa por $X, E,$ y $F$ , tal que $BCHJ$ es un trapecio ( $CB \parallel HJ$ ) . Pruebe que $JB$ y $EM$ se encuentran en $\omega$ .

Sea $ABC$ un triángulo isósceles ( $AB = AC$ ) con su circuncentro $O$ . El punto $N$ es el punto medio del segmento $BC$ y el punto $M$ es la reflexión del punto $N$ con respecto al lado $AC$ . Suponga que $T$ es un punto tal que $ANBT$ es un rectángulo. Pruebe que $\angle OMT = \frac{1}{2} \angle BAC$ .

Se da un trapecio $ABCD$ donde $AB$ y $CD$ son paralelos. Sea $M$ el punto medio del segmento $AB$ . El punto $N$ está ubicado en el segmento $CD$ tal que $\angle ADN = \frac{1}{2} \angle MNC$ y $\angle BCN = \frac{1}{2} \angle MND$ . Pruebe que $N$ es el punto medio del segmento $CD$ .