Sea $ ABCD$ un trapecio inscrito en un círculo $ \mathcal{C}$ con $ AB\parallel CD$ , $ AB=2CD$ . Sea $ \{Q\}=AD\cap BC$ y sea $ P$ la intersección de las tangentes a $ \mathcal{C}$ en $ B$ y $ D$ . Calcule el área del cuadrilátero $ ABPQ$ en términos del área del triángulo $ PDQ$ .

Sea $ ABCD$ un trapecio con $ AB\parallel CD,AB>CD$ y $ \angle{A} + \angle{B} = 90^\circ$ . Demuestre que la distancia entre los puntos medios de las bases es igual a la semidiferencia de las bases.

Demuestre que no existen números naturales $ n\ge 10$ que tengan todos los dígitos diferentes de cero, y tales que todos los números que se obtienen por permutaciones de sus dígitos son cuadrados perfectos.

Determine todos los números $ \overline{abcd}$ tales que $ \overline{abcd}=11(a+b+c+d)^2$ .

Demuestre que para todo número compuesto $ n>4$ , los números $ kn$ dividen a $ (n-1)!$ para todo entero $ k$ tal que $ 1\le k\le \lfloor \sqrt{n-1} \rfloor$ .

Determine todos los pares $ (m,n)$ de números naturales para los cuales $ m^2=nk+2$ donde $ k=\overline{n1}$ . EDIT. Se ha descubierto que la declaración correcta es con $ k=\overline{1n}$ .

Determine el mayor valor posible de $ m$ para el cual la ecuación $ 2005x + 2007y = m$ tiene una solución única en números naturales.

Sea $ n\ge 3$ un número natural. Un conjunto de números reales $ \{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$ se llama sumable si $ \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}=1$ . Demuestre que para todo $ n\ge 3$ siempre existe un conjunto sumable que consta de $ n$ elementos tales que el elemento más grande es: a) mayor que $ 2^{2n-2}$ b) menor que $ n^2$

Sean $ x,y,z$ números reales positivos tales que $ x+2y+3z=\frac{11}{12}$ . Demuestre la desigualdad $ 6(3xy+4xz+2yz)+6x+3y+4z+72xyz\le \frac{107}{18}$ .

Para un triángulo acutángulo $ ABC$ , demuestre la desigualdad: $ \sum_{cyclic} \frac{m_a^2}{-a^2+b^2+c^2}\ge \frac{9}{4}$ donde $ m_a,m_b,m_c$ son las longitudes de las medianas correspondientes.