En una conferencia hay $n$ matemáticos. Cada uno de ellos conoce exactamente a $k$ compañeros matemáticos. Encontrar el valor más pequeño de $k$ tal que haya al menos tres matemáticos que se conozcan entre sí.

Considerar el triángulo $ABC$ con $\angle A= 90^{\circ}$ y $\angle B \not= \angle C$ . Un círculo $\mathcal{C}(O,R)$ pasa por $B$ y $C$ e interseca los lados $AB$ y $AC$ en $D$ y $E$ , respectivamente. Sea $S$ el pie de la perpendicular desde $A$ a $BC$ y sea $K$ el punto de intersección de $AS$ con el segmento $DE$ . Si $M$ es el punto medio de $BC$ , demostrar que $AKOM$ es un paralelogramo.

Considerar un triángulo $ABC$ con $AB=AC$ , y $D$ el pie de la altura desde el vértice $A$ . El punto $E$ se encuentra en el lado $AB$ tal que $\angle ACE= \angle ECB=18^{\circ}$ . Si $AD=3$ , encontrar la longitud del segmento $CE$ .

Un triángulo $ABC$ está inscrito en el círculo $\mathcal{C}(O,R)$ . Sea $\alpha <1$ la razón de los radios de los círculos tangentes a $\mathcal{C}$ , y ambos rayos $(AB$ y $(AC$ . Los números $\beta <1$ y $\gamma <1$ se definen análogamente. Demostrar que $\alpha + \beta + \gamma =1$ .

Considerar un cuadrilátero convexo $ABCD$ con $AB=CD$ y $\angle BAC=30^{\circ}$ . Si $\angle ADC=150^{\circ}$ , demostrar que $\angle BCA= \angle ACD$ .

Demostrar que no hay tres puntos con coordenadas enteras que puedan ser los vértices de un triángulo equilátero.

Demostrar que no hay enteros positivos $x$ e $y$ tales que $x^5+y^5+1=(x+2)^5+(y-3)^5$ .

Encontrar todos los enteros $x$ e $y$ tales que $x^3\pm y^3 =2001p$ , donde $p$ es primo.

Sea $x_k=\frac{k(k+1)}{2}$ para todos los enteros $k\ge 1$ . Demostrar que para cualquier entero $n \ge 10$ , entre los números $A=x_1+x_2 + \ldots + x_{n-1}$ y $B=A+x_n$ hay al menos un cuadrado.

El discriminante de la ecuación $x^2-ax+b=0$ es el cuadrado de un número racional y $a$ y $b$ son enteros. Demostrar que las raíces de la ecuación son enteros.