Encontrar todos los números de tres dígitos $\overline{abc}$ tal que el número de $6003$ dígitos $\overline{abcabc\ldots abc}$ es divisible por $91$ .

Sea $P_n \ (n=3,4,5,6,7)$ el conjunto de enteros positivos $n^k+n^l+n^m$ , donde $k,l,m$ son enteros positivos. Encontrar $n$ tal que: \ni) En el conjunto $P_n$ hay infinitos cuadrados. \nii) En el conjunto $P_n$ no hay cuadrados.

Encontrar los enteros positivos $n$ que no son divisibles por $3$ si el número $2^{n^2-10}+2133$ es un cubo perfecto.

El vértice $ A$ del triángulo acutángulo $ ABC$ es equidistante del circuncentro $ O$ y el ortocentro $ H.$ Determine todos los valores posibles para la medida del ángulo $ A.$

Sean $ a_1 \geq a_2 \geq a_3 \in \mathbb{Z}^+$ dados y sea N $ (a_1, a_2, a_3)$ el número de soluciones $ (x_1, x_2, x_3)$ de la ecuación \[ \sum^3_{k=1} \frac{a_k}{x_k} = 1.\] donde $ x_1, x_2,$ y $ x_3$ son enteros positivos. Demuestre que \[ N(a_1, a_2, a_3) \leq 6 a_1 a_2 (3 + ln(2 a_1)).\]

Pruebe que para cada entero positivo $ n$ existen $ n$ enteros positivos consecutivos ninguno de los cuales es una potencia entera de un número primo.

155 pájaros $ P_1, \ldots, P_{155}$ están sentados en el borde de un círculo $ C.$ Dos pájaros $ P_i, P_j$ son mutuamente visibles si el ángulo en el centro $ m(\cdot)$ de sus posiciones $ m(P_iP_j) \leq 10^{\circ}.$ Encuentre el número más pequeño de pares de pájaros mutuamente visibles, es decir, el conjunto mínimo de pares $ \{x,y\}$ de pares de pájaros mutuamente visibles con $ x,y \in \{P_1, \ldots, P_{155}\}.$ Se asume que una posición (punto) en $ C$ puede ser ocupada simultáneamente por varios pájaros, por ejemplo, todos los pájaros posibles.

Considere en un plano $ P$ los puntos $ O,A_1,A_2,A_3,A_4$ tales que \[ \sigma(OA_iA_j) \geq 1 \quad \forall i, j = 1, 2, 3, 4, i \neq j.\] donde $ \sigma(OA_iA_j)$ es el área del triángulo $ OA_iA_j.$ Pruebe que existe al menos un par $ i_0, j_0 \in \{1, 2, 3, 4\}$ tal que \[ \sigma(OA_iA_j) \geq \sqrt{2}.\]

Sea $ m$ un entero positivo impar, $ m > 2.$ Encuentre el entero positivo más pequeño $ n$ tal que $ 2^{1989}$ divide a $ m^n - 1.$

Sea $ n \in \mathbb{Z}^+$ y sean $ a, b \in \mathbb{R}.$ Determine el rango de $ x_0$ para el cual \[ \sum^n_{i=0} x_i = a \text{ y } \sum^n_{i=0} x^2_i = b,\] donde $ x_0, x_1, \ldots , x_n$ son variables reales.