Sean $ a, b \in \mathbb{Z}$ que no son cuadrados perfectos. Demuestra que si \[ x^2 - ay^2 - bz^2 + abw^2 = 0\] tiene una solución no trivial en enteros, entonces también la tiene \[ x^2 - ay^2 - bz^2 = 0.\]

Para los puntos $ A_1, \ldots ,A_5$ en la esfera de radio 1, ¿cuál es el valor máximo que $ min_{1 \leq i,j \leq 5} A_iA_j$ puede tomar? Determina todas las configuraciones para las que se alcanza este máximo. (O: determina el diámetro de cualquier conjunto $ \{A_1, \ldots ,A_5\}$ para el que se alcanza este máximo.)

Una permutación $ \{x_1, x_2, \ldots, x_{2n}\}$ del conjunto $ \{1,2, \ldots, 2n\}$ donde $ n$ es un entero positivo, se dice que tiene la propiedad $ T$ si $ |x_i - x_{i + 1}| = n$ para al menos un $ i$ en $ \{1,2, \ldots, 2n - 1\}.$ Demuestra que, para cada $ n$ , hay más permutaciones con la propiedad $ T$ que sin ella.

Demuestra que en el conjunto $ \{1,2, \ldots, 1989\}$ se puede expresar como la unión disjunta de subconjuntos $ A_i, \{i = 1,2, \ldots, 117\}$ tal que i.) cada $ A_i$ contiene 17 elementos ii.) la suma de todos los elementos en cada $ A_i$ es la misma.

Demuestra que la intersección de un plano y un tetraedro regular puede ser un triángulo obtusángulo y que el ángulo obtuso en cualquier triángulo de este tipo es siempre menor que $ 120^{\circ}.$

Sean $ n$ y $ k$ enteros positivos y sea $ S$ un conjunto de $ n$ puntos en el plano tal que i.) no hay tres puntos de $ S$ colineales, y ii.) para cada punto $ P$ de $ S$ hay al menos $ k$ puntos de $ S$ equidistantes de $ P.$ Demuestra que: \[\nk < \frac {1}{2} + \sqrt {2 \cdot n}\n\]

Un número natural está escrito en cada cuadrado de un tablero de ajedrez de $ m \times n$. El movimiento permitido es agregar un entero $ k$ a cada uno de dos números adyacentes de tal manera que se obtengan números no negativos. (Dos cuadrados son adyacentes si tienen un lado común.) Encuentra una condición necesaria y suficiente para que sea posible que todos los números sean cero después de un número finito de operaciones.

Dado un polígono convexo $ A_1A_2 \ldots A_n$ con área $ S$ y un punto $ M$ en el mismo plano, determina el área del polígono $ M_1M_2 \ldots M_n,$ donde $ M_i$ es la imagen de $ M$ bajo la rotación $ R^{\alpha}_{A_i}$ alrededor de $ A_i$ por $ \alpha_i, i = 1, 2, \ldots, n.$

Dados siete puntos en el plano, algunos de ellos están conectados por segmentos de tal manera que: (i) entre cada tres de los puntos dados, dos están conectados por un segmento; (ii) el número de segmentos es mínimo. ¿Cuántos segmentos tiene una figura que satisface (i) y (ii)? Da un ejemplo de tal figura.

El conjunto $ \{a_0, a_1, \ldots, a_n\}$ de números reales satisface las siguientes condiciones: (i) $ a_0 = a_n = 0,$ (ii) para $ 1 \leq k \leq n - 1,$ \[\na_k = c + \sum^{n-1}_{i=k} a_{i-k} \cdot \left(a_i + a_{i+1} \right)\] Demuestra que $ c \leq \frac{1}{4n}.$