Sean $ a, b, c, d,m, n \in \mathbb{Z}^+$ tales que \[ a^2+b^2+c^2+d^2 = 1989,\] \[ a+b+c+d = m^2,\] y el mayor de $ a, b, c, d$ es $ n^2.$ Determinar, con prueba, los valores de $m$ y $ n.$

Un cuadrilátero bicéntrico es uno que puede ser inscrito y circunscrito a un círculo, es decir, existen tanto el incírculo como el circuncírculo. Demostrar que para tal cuadrilátero, los centros de los dos círculos asociados son colineales con el punto de intersección de las diagonales.

Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que los lados $ AB, AD, BC$ satisfacen $ AB = AD + BC.$ Existe un punto $ P$ dentro del cuadrilátero a una distancia $ h$ de la línea $ CD$ tal que $ AP = h + AD$ y $ BP = h + BC.$ Demostrar que: \[ \frac {1}{\sqrt {h}} \geq \frac {1}{\sqrt {AD}} + \frac {1}{\sqrt {BC}} \]

Hay n coches esperando en puntos distintos de una pista de carreras circular. En la señal de salida, cada coche arranca. Cada coche puede elegir arbitrariamente cuál de las dos direcciones posibles tomar. Cada coche tiene la misma velocidad constante. Cada vez que dos coches se encuentran, ambos cambian de dirección (pero no de velocidad). Demostrar que en algún momento cada coche vuelve a su punto de partida.

Definir la secuencia $ (a_n)$ por $ \sum_{d|n} a_d = 2^n.$ Demostrar que $ n|a_n.$

Sea $ g: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ , $ \omega \in \mathbb{C}$ , $ a \in \mathbb{C}$ , $ \omega^3 = 1$ , y $ \omega \ne 1$ . Demuestre que existe una y solo una función $ f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ tal que \[ f(z) + f(\omega z + a) = g(z),z\in \mathbb{C} \]

$ \forall n > 0, n \in \mathbb{Z},$ existen enteros determinados unívocamente $ a_n, b_n, c_n \in \mathbb{Z}$ tales que \[ \left(1 + 4 \cdot \sqrt[3]{2} - 4 \cdot \sqrt[3]{4} \right)^n = a_n + b_n \cdot \sqrt[3]{2} + c_n \cdot \sqrt[3]{4}.\] Demuestre que $ c_n = 0$ implica $ n = 0.$

Sea $ R$ un rectángulo que es la unión de un número finito de rectángulos $ R_i,$ $ 1 \leq i \leq n,$ que satisfacen las siguientes condiciones: (i) Los lados de cada rectángulo $ R_i$ son paralelos a los lados de $ R.$ (ii) Los interiores de dos rectángulos diferentes cualesquiera $ R_i$ son disjuntos. (iii) Cada rectángulo $ R_i$ tiene al menos un lado de longitud entera. Demuestre que $ R$ tiene al menos un lado de longitud entera. Variante: Mismo problema pero con paralelepípedos rectangulares que tienen al menos un lado integral.

Demuestre que dos puntos cualesquiera que se encuentren dentro de un $ n-$ gono regular $ E$ pueden unirse mediante dos arcos circulares que se encuentran dentro de $ E$ y se encuentran en un ángulo de al menos $ \left(1 - \frac{2}{n} \right) \cdot \pi.$

Para un triángulo $ ABC,$ sea $ k$ su circuncírculo con radio $ r.$ Las bisectrices de los ángulos internos $ A, B,$ y $ C$ del triángulo intersecan respectivamente el círculo $ k$ nuevamente en los puntos $ A', B',$ y $ C'.$ Demuestre la desigualdad \[ 16Q^3 \geq 27 r^4 P,\] donde $ Q$ y $ P$ son las áreas de los triángulos $ A'B'C'$ y $ABC$ respectivamente.