Demostrar que para cada entero positivo $ n$ existen $ n$ enteros positivos consecutivos ninguno de los cuales es una potencia entera de un número primo.

Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que los lados $ AB, AD, BC$ satisfacen $ AB = AD + BC.$ Existe un punto $ P$ dentro del cuadrilátero a una distancia $ h$ de la línea $ CD$ tal que $ AP = h + AD$ y $ BP = h + BC.$ Demostrar que: \[ \frac {1}{\sqrt {h}} \geq \frac {1}{\sqrt {AD}} + \frac {1}{\sqrt {BC}} \]

Sean $ n$ y $ k$ enteros positivos y sea $ S$ un conjunto de $ n$ puntos en el plano tal que i.) no hay tres puntos de $ S$ que sean colineales, y ii.) para cada punto $ P$ de $ S$ hay al menos $ k$ puntos de $ S$ equidistantes de $ P.$ Demostrar que: \[ k < \frac {1}{2} + \sqrt {2 \cdot n} \]

$ ABC$ es un triángulo, la bisectriz del ángulo $ A$ se encuentra con la circunferencia circunscrita del triángulo $ ABC$ en $ A_1$ , los puntos $ B_1$ y $ C_1$ se definen de manera similar. Sea $ AA_1$ la recta que biseca los dos ángulos externos en $ B$ y $ C$ en $ A_0$ . Definir $ B_0$ y $ C_0$ de manera similar. Demostrar que el área del triángulo $ A_0B_0C_0 = 2 \cdot$ área del hexágono $ AC_1BA_1CB_1 \geq 4 \cdot$ área del triángulo $ ABC$.

Demostrar que en el conjunto $ \{1,2, \ldots, 1989\}$ se puede expresar como la unión disjunta de subconjuntos $ A_i, \{i = 1,2, \ldots, 117\}$ tal que i.) cada $ A_i$ contiene 17 elementos ii.) la suma de todos los elementos en cada $ A_i$ es la misma.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB=AC$ . Además, sea $D\in[BC]$ un punto tal que $BC>BD>DC>0$ , y sean $\mathcal{C}_1,\mathcal{C}_2$ las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABD$ y $ADC$ respectivamente. Sean $BB'$ y $CC'$ diámetros en los dos círculos, y sea $M$ el punto medio de $B'C'$ . Demuestre que el área del triángulo $MBC$ es constante (es decir, no depende de la elección del punto $D$ ).

Sea $S$ un cuadrado con lado de longitud 20 y sea $M$ el conjunto de puntos formado con los vértices de $S$ y otros 1999 puntos que se encuentran dentro de $S$ . Demuestre que existe un triángulo con vértices en $M$ y con área como máximo igual a $\frac 1{10}$ .

Para cada entero no negativo $n$ definimos $A_n = 2^{3n}+3^{6n+2}+5^{6n+2}$ . Encuentre el máximo común divisor de los números $A_0,A_1,\ldots, A_{1999}$ .

Sean $ a,b,c,x,y$ cinco números reales tales que $ a^3 + ax + y = 0$ , $ b^3 + bx + y = 0$ y $ c^3 + cx + y = 0$ . Si $ a,b,c$ son números distintos, demuestre que su suma es cero.

Considera un 2n-gono regular $P$, $A_1,A_2,\cdots ,A_{2n}$ en el plano, donde $n$ es un entero positivo. Decimos que un punto $S$ en uno de los lados de $P$ puede ser visto desde un punto $E$ que es externo a $P$, si el segmento de línea $SE$ no contiene otros puntos que se encuentren en los lados de $P$ excepto $S$. Coloreamos los lados de $P$ en 3 colores diferentes (ignoramos los vértices de $P$, los consideramos incoloros), de modo que cada lado se colorea en exactamente un color, y cada color se usa al menos una vez. Además, desde cada punto en el plano externo a $P$, se pueden ver puntos de como máximo 2 colores diferentes en $P$. Encuentra el número de coloraciones distintas de $P$ (dos coloraciones se consideran distintas si al menos uno de los lados está coloreado de manera diferente).