Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AB\neq AC$, con circuncírculo $ \Gamma$ y circuncentro $O$. Sea $M$ el punto medio de $BC$ y $D$ un punto en $ \Gamma$ tal que $AD \perp BC$. Sea $T$ un punto tal que $BDCT$ es un paralelogramo y $Q$ un punto en el mismo lado de $BC$ que $A$ tal que $\angle{BQM}=\angle{BCA}$ y $\angle{CQM}=\angle{CBA}$. Sea la línea $AO$ que intersecta a $ \Gamma$ en $E$ $(E\neq A)$ y sea la circunferencia circunscrita del $\triangle ETQ$ que intersecta a $ \Gamma$ en el punto $X\neq E$. Demostrar que los puntos $A,M$ y $X$ son colineales.

Sean $x,y,z$ enteros positivos tales que $x\neq y\neq z \neq x$. Demostrar que $$(x+y+z)(xy+yz+zx-2)\geq 9xyz.$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Determinar todos los conjuntos de seis enteros positivos consecutivos tales que el producto de dos de ellos, sumado al producto de otros dos de ellos, sea igual al producto de los dos números restantes.

Dado un polinomio $f(x)$ con coeficientes enteros no negativos y un entero positivo $a.$ La secuencia $\{a_{n}\}$ se define por $a_{1}=a,$ $a_{n+1}=f(a_{n}).$ Se sabe que el conjunto de primos que dividen al menos uno de los términos de esta secuencia es finito. Demuestra que $f(x)=cx^{k}$ para algunos enteros no negativos $c$ y $k.$

En un cuadrilátero convexo $ABCD$ tenemos $AB\cdot CD=BC\cdot DA$ y $2\angle A+\angle C=180^\circ$ . El punto $P$ se encuentra en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABD$ y es el punto medio del arco $BD$ que no contiene a $A$ . Se sabe que el punto $P$ se encuentra dentro del cuadrilátero $ABCD$ . Demuestra que $\angle BCA=\angle DCP$

¿Qué número es mayor: el número de enteros positivos que no exceden de 1000000 que pueden ser representados por la forma $2x^{2}-3y^{2}$ con $x$ e $y$ enteros o el de enteros positivos que no exceden de 1000000 que pueden ser representados por la forma $10xy-x^{2}-y^{2}$ con $x$ e $y$ enteros?

Demuestra que para todo $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ en el intervalo $(0,\pi/2)$ \[\left({1\over \sin \alpha_{1}}+{1\over \sin \alpha_{2}}+\ldots+{1\over \sin \alpha_{n}}\right) \left({1\over \cos \alpha_{1}}+{1\over \cos \alpha_{2}}+\ldots+{1\over \cos \alpha_{n}}\right) \leq\] \[\leq 2 \left({1\over \sin 2\alpha_{1}}+{1\over \sin 2\alpha_{2}}+\ldots+{1\over \sin 2\alpha_{n}}\right)^{2}.\]

Encuentra todas las funciones continuas $f(x)$ definidas para todo $x>0$ tales que para todo $x$ , $y > 0$ \[ f\left(x+{1\over x}\right)+f\left(y+{1\over y}\right)= f\left(x+{1\over y}\right)+f\left(y+{1\over x}\right) . \]

El alfabeto $A$ contiene $n$ letras. $S$ es un conjunto de palabras de longitud finita compuestas por letras de $A$ . Se sabe que toda secuencia infinita de letras de $A$ comienza con una y sólo una palabra de $S$ . Demuestra que el conjunto $S$ es finito.

En un cuadrilátero $ABCD$ los lados $AB$ y $CD$ son iguales, $\angle A=150^\circ,$ $\angle B=44^\circ,$ $\angle C=72^\circ.$ La bisectriz perpendicular del segmento $AD$ se encuentra con el lado $BC$ en el punto $P.$ Encuentra $\angle APD.$