Un rectángulo de $2003\times 2004$ consta de cuadrados unitarios. Consideramos rombos formados por cuatro diagonales de cuadrados unitarios. ¿Cuál es el número máximo de tales rombos que se pueden organizar en este rectángulo de modo que no haya dos de ellos que tengan puntos en común excepto los vértices?

Si $a, b, c$ son números reales no negativos con $ a^2 + b^2 + c^2 = 1$ , demuestra que: \[ \frac {a}{b^2 + 1} + \frac {b}{c^2 + 1} + \frac {c}{a^2 + 1} \geq \frac {3}{4}(a\sqrt {a} + b\sqrt {b} + c\sqrt {c})^2\]

En un triángulo acutángulo $ABC$ , $M$ y $N$ son puntos en los lados $AC$ y $BC$ respectivamente, y $K$ es el punto medio de $MN$ . Las circunferencias circunscritas de los triángulos $ACN$ y $BCM$ se encuentran de nuevo en un punto $D$ . Demuestra que la línea $CD$ contiene el circuncentro $O$ de $\triangle ABC$ si y sólo si $K$ está en la mediatriz de $AB.$

Suponga que $x, y, a$ son números reales tales que $x+y = x^3 +y^3 = x^5 +y^5 = a$ . Encuentra todos los valores posibles de $a.$

Encuentra todos los números naturales $x,y$ tales que $y| (x^{2}+1)$ y $x^{2}| (y^{3}+1)$ .

El tablero de $8 \times 8$ está cubierto con la misma forma que en la imagen de la derecha (cada una de las formas se puede girar $90^o$) de modo que dos cualesquiera no se superpongan ni se extiendan más allá del borde del tablero de ajedrez. Determine el mayor número posible de campos de este tablero de ajedrez que se pueden cubrir como se describe anteriormente.

Encuentre todas las ternas $(a, k, m)$ de enteros positivos que satisfacen la ecuación $k + a^k = m + 2a^m$.

Se da un rombo $ABCD$ con $\angle BAD = 60^o$. El punto $P$ se encuentra dentro del rombo tal que $BP = 1$, $DP = 2$, $CP = 3$. Determine la longitud del segmento $AP$.

Demuestre que si $n$ es un entero positivo, entonces $2 (n^2 + 1) - n$ no es el cuadrado de un entero.

En el círculo $k$, se dan los puntos $A,B$, mientras que $AB$ no es el diámetro del círculo $k$. El punto $C$ se mueve a lo largo del arco largo $AB$ del círculo $k$ de modo que el triángulo $ABC$ es agudo. Sean $D,E$ los pies de las alturas de $A, B$ respectivamente. Sea $F$ la proyección del punto $D$ en la línea $AC$ y $G$ la proyección del punto $E$ en la línea $BC$. (a) Demuestre que las líneas $AB$ y $FG$ son paralelas. (b) Determine el conjunto de puntos medios $S$ del segmento $FG$ mientras que a lo largo de todas las posiciones permitidas del punto $C$.