Hay muchos números reales diferentes escritos en la pizarra. Resultó que para cada dos números escritos, su producto también fue escrito. ¿Cuál es el mayor número posible de números escritos en la pizarra?

Los enteros positivos $a, b, c$ satisfacen la igualdad $a^2 + b^2 = c^2$. Demuestre que el número $\frac12(c - a) (c - b)$ es el cuadrado de un entero.

Demuestre que entre cualquiera de los $51$ vértices del polígono regular de $101$ hay tres que son los vértices de un triángulo isósceles.

Diferentes puntos $A, B, C, D$ se encuentran en un círculo con centro en el punto $O$ de tal manera que $\angle AOB$ $= \angle BOC =$ $\angle COD =$ $60^o$. El punto $P$ se encuentra en el arco más corto $BC$ de este círculo. Los puntos $K, L, M$ son las proyecciones de $P$ en las líneas $AO, BO, CO$ respectivamente. Demuestre que (a) el triángulo $KLM$ es equilátero, (b) el área del triángulo $KLM$ no depende de la elección de la posición del punto $P$ en el arco más corto $BC$.

Determine todos los primos ternas $(a, b, c)$ que satisfacen la igualdad $a^2+ab+b^2=c^2+3$.

Sea $P$ un punto dentro del triángulo $ABC$. Los puntos $K, L, M$ son simétricos del punto $P$ con respecto a los puntos medios de los lados $BC, CA, AB$. Demuestra que las rectas $AK, BL, CM$ se intersecan en un punto.

Se coloca una ficha en cada vértice de un $2n$ -gono regular. Un movimiento consiste en elegir un lado del $2n$ -gono e intercambiar las dos fichas colocadas en los extremos de ese lado. Después de que se haya realizado un número finito de movimientos, resulta que cada dos fichas se han intercambiado exactamente una vez. Demuestre que algún lado nunca ha sido elegido.

Dado un entero positivo $k\geq2$ , sea $a_1=1$ y, para cada entero $n\geq 2$ , sea $a_n$ la solución más pequeña de la ecuación \[x=1+\sum_{i=1}^{n-1}\left\lfloor\sqrt[k]{\frac{x}{a_i}}\right\rfloor\] que excede a $a_{n-1}$ . Demuestre que todos los primos están entre los términos de la secuencia $a_1,a_2,\ldots$

Suponga que dos cuadriláteros convexos en el plano $P$ y $P'$ , comparten un punto $O$ tal que, para cada línea $l$ que pasa por $O$ , el segmento a lo largo del cual $l$ y $P$ se encuentran es más largo que el segmento a lo largo del cual $l$ y $P'$ se encuentran. ¿Es posible que la razón del área de $P'$ al área de $P$ sea mayor que $1.9$ ?

Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en un círculo $\omega$ . Las líneas $AB$ y $CD$ se intersecan en $P$ , las líneas $AD$ y $BC$ se intersecan en $Q$ , y las diagonales $AC$ y $BD$ se intersecan en $R$ . Sea $M$ el punto medio del segmento $PQ$ , y sea $K$ el punto común del segmento $MR$ y el círculo $\omega$ . Demuestre que el circuncírculo del triángulo $KPQ$ y $\omega$ son tangentes entre sí.