¿Existe un par $(g,h)$ de funciones $g,h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que la única función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ que satisface $f(g(x))=g(f(x))$ y $f(h(x))=h(f(x))$ para toda $x\in\mathbb{R}$ es la función identidad $f(x)\equiv x$ ?

Para un entero positivo $a$ , define una secuencia de enteros $x_1,x_2,\ldots$ definiendo $x_1=a$ y $x_{n+1}=2x_n+1$ para $n\geq 1$ . Sea $y_n=2^{x_n}-1$ . Determine el mayor valor posible de $k$ tal que, para algún entero positivo $a$ , los números $y_1,\ldots,y_k$ son todos primos.

Sea $N$ un entero positivo tal que la suma de los cuadrados de todos los divisores positivos de $N$ es igual al producto $N(N+3)$ . Demuestre que existen dos índices $i$ y $j$ tales que $N=F_iF_j$ donde $(F_i)_{n=1}^{\infty}$ es la sucesión de Fibonacci definida como $F_1=F_2=1$ y $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ para $n\geq 3$ .

Sean $a,b$ y $c$ enteros positivos que satisfacen $a<b<c<a+b$ . Demuestre que $c(a-1)+b$ no divide a $c(b-1)+a$ .

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con el ángulo recto en $B$ y circuncírculo $c$ . Denotemos por $D$ el punto medio del arco más corto $AB$ de $c$ . Sea $P$ el punto en el lado $AB$ tal que $CP=CD$ y sean $X$ e $Y$ dos puntos distintos en $c$ que satisfacen $AX=AY=PD$ . Demuestre que $X, Y$ y $P$ son colineales.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AB<AC$ . Sea $D$ el punto de intersección de la bisectriz perpendicular del lado $BC$ con el lado $AC$ . Sea $P$ un punto en el arco más corto $AC$ del circuncírculo del triángulo $ABC$ tal que $DP \parallel BC$ . Finalmente, sea $M$ el punto medio del lado $AB$ . Demuestre que $\angle APD=\angle MPB$ .

Demuestre que todo entero de $1$ a $2019$ se puede representar como una expresión aritmética que consta de hasta $17$ símbolos $2$ y un número arbitrario de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y paréntesis. Los $2$ 's no se pueden usar para ninguna otra operación, por ejemplo, para formar números de varios dígitos (como $222$ ) o potencias (como $2^2$ ) . Ejemplos válidos: $$\left((2\times 2+2)\times 2-\frac{2}{2}\right)\times 2=22 \;\;, \;\; (2\times2\times 2-2)\times \left(2\times 2 +\frac{2+2+2}{2}\right)=42$$

Hay $n$ niños y $n$ niñas en una clase escolar, donde $n$ es un entero positivo. Las alturas de todos los niños en esta clase son distintas. Cada niña determina el número de niños que son más altos que ella, resta el número de niñas que son más altas que ella, y escribe el resultado en un pedazo de papel. Cada niño determina el número de niñas que son más bajas que él, resta el número de niños que son más bajos que él, y escribe el resultado en un pedazo de papel. Demuestre que los números escritos por las niñas son los mismos que los números escritos por los niños (hasta una permutación).

Sea $\alpha$ un número real. Determine todos los polinomios $P$ con coeficientes reales tales que $$P(2x+\alpha)\leq (x^{20}+x^{19})P(x)$$ se cumple para todos los números reales $x$ .

Determine los valores posibles más pequeño y más grande de la expresión $$\left( \frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\right)\left( \frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1}\right)$$ siempre que $a,b$ y $c$ sean números reales no negativos que satisfacen $ab+bc+ca=1$ .