Determine el entero positivo más pequeño $n$ para el cual la siguiente afirmación es verdadera: De cualquier $n$ enteros consecutivos se puede seleccionar un conjunto no vacío de enteros consecutivos tal que su suma sea divisible por $2019$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC>BC$ y circuncírculo $\omega$ . Suponga que $P$ es un punto en $\omega$ tal que $AP=AC$ y que $P$ es un punto interior en el arco más corto $BC$ de $\omega$ . Sea $Q$ el punto de intersección de las rectas $AP$ y $BC$ . Además, suponga que $R$ es un punto en $\omega$ tal que $QA=QR$ y $R$ es un punto interior del arco más corto $AC$ de $\omega$ . Finalmente, sea $S$ el punto de intersección de la recta $BC$ con la bisectriz perpendicular del lado $AB$ . Demuestre que los puntos $P, Q, R$ y $S$ son concíclicos.

Sea $n\geq 3$ un entero. Decimos que un vértice $A_i (1\leq i\leq n)$ de un polígono convexo $A_1A_2 \dots A_n$ es bohemio si su reflexión con respecto al punto medio de $A_{i-1}A_{i+1}$ (con $A_0=A_n$ y $A_1=A_{n+1}$ ) se encuentra dentro o en la frontera del polígono $A_1A_2\dots A_n$ . Determine el menor número posible de vértices bohemios que puede tener un $n$ - gono convexo (dependiendo de $n$ ) .

Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que para cualesquiera dos números reales $x,y$ se cumple que $$f(xf(y)+2y)=f(xy)+xf(y)+f(f(y)).$$

Demuestra que si $p$ es un número primo, entonces $7p+3^{p}-4$ no es un cuadrado perfecto.

Se dan $50$ puntos en el plano, no tres de ellos pertenecientes a la misma línea. Cada uno de estos puntos se colorea usando uno de los cuatro colores dados. Demuestra que hay un color y al menos $130$ triángulos escalenos con vértices de ese color.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle{DAC}= \angle{BDC}= 36^\circ$, $\angle{CBD}= 18^\circ$ y $\angle{BAC}= 72^\circ$. Las diagonales se intersectan en el punto $P$. Determine la medida de $\angle{APD}$.

Sea $a$ un número real positivo tal que $a^{3}=6(a+1)$. Demuestra que la ecuación $x^{2}+ax+a^{2}-6=0$ no tiene soluciones reales.

Sea $m\ge 2$ un entero, $A$ un conjunto finito de enteros (no necesariamente positivos) y $B_1,B_2,...,B_m$ subconjuntos de $A$ . Suponga que, para todo $k=1,2,...,m$ , la suma de los elementos de $B_k$ es $m^k$ . Demuestre que $A$ contiene al menos $\dfrac{m}{2}$ elementos.

Dos ardillas, Bushy y Jumpy, han recolectado 2021 nueces para el invierno. Jumpy numera las nueces del 1 al 2021 y cava 2021 pequeños agujeros en un patrón circular en el suelo alrededor de su árbol favorito. A la mañana siguiente, Jumpy se da cuenta de que Bushy había colocado una nuez en cada agujero, pero no había prestado atención a la numeración. Descontento, Jumpy decide reordenar las nueces realizando una secuencia de 2021 movimientos. En el $k$ - ésimo movimiento, Jumpy intercambia las posiciones de las dos nueces adyacentes a la nuez $k$ . Demuestre que existe un valor de $k$ tal que, en el $k$ - ésimo movimiento, Jumpy intercambia algunas nueces $a$ y $b$ tales que $a<k<b$ .