Sea $\Gamma$ un círculo con centro $I$ , y $A B C D$ un cuadrilátero convexo tal que cada uno de los segmentos $A B, B C, C D$ y $D A$ es tangente a $\Gamma$ . Sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $A I C$ . La extensión de $B A$ más allá de $A$ se encuentra con $\Omega$ en $X$ , y la extensión de $B C$ más allá de $C$ se encuentra con $\Omega$ en $Z$ . Las extensiones de $A D$ y $C D$ más allá de $D$ se encuentran con $\Omega$ en $Y$ y $T$ , respectivamente. Demuestre que \[A D+D T+T X+X A=C D+D Y+Y Z+Z C.\]

Sea $D$ un punto interior del triángulo acutángulo $ABC$ con $AB > AC$ tal que $\angle DAB = \angle CAD.$ El punto $E$ en el segmento $AC$ satisface $\angle ADE =\angle BCD,$ el punto $F$ en el segmento $AB$ satisface $\angle FDA =\angle DBC,$ y el punto $X$ en la línea $AC$ satisface $CX = BX.$ Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $ADC$ y $EXD,$ respectivamente. Demuestre que las rectas $BC, EF,$ y $O_1O_2$ son concurrentes.

Demostrar que la desigualdad \[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i-x_j|}\leqslant \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i+x_j|}\] se cumple para todos los números reales $x_1,\ldots x_n.$

Sea $n \geqslant 100$ un entero. Iván escribe los números $n, n+1, \ldots, 2 n$ cada uno en diferentes tarjetas. Luego baraja estas $n+1$ tarjetas y las divide en dos montones. Demuestre que al menos uno de los montones contiene dos tarjetas tales que la suma de sus números es un cuadrado perfecto.

En el triángulo $\triangle ABC$ tenemos $BC=a,CA=b,AB=c$ y $\angle B=4\angle A$. Demuestre que \[[ab^2c^3=(b^2-a^2-ac)((a^2-b^2)^2-a^2c^2)]]

Sean $a,b,c\not= 0$ y $x,y,z\in\mathbb{R}^+$ tales que $x+y+z=3$. Demuestre que \[\frac{3}{2}\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\geq\frac{x}{1+a^2}+\frac{y}{1+b^2}+\frac{z}{1+c^2}\]

Se da una figura plana de área $A > n$, donde $n$ es un entero positivo. Demuestre que esta figura se puede colocar en un plano cartesiano de modo que cubra al menos $n+1$ puntos con coordenadas enteras.

¿Existe un círculo y un conjunto infinito de puntos en él tal que la distancia entre dos puntos cualesquiera sea racional?

Para un entero positivo $n$ , sea $\varphi(n)$ y $d(n)$ denotan el valor de la función phi de Euler en $n$ y el número de divisores positivos de $n$ , respectivamente. Demuestre que hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $\varphi(n)$ y $d(n)$ son ambos cuadrados perfectos.

Determine todos los pares de enteros positivos $(m, n)$ para los cuales existe una función biyectiva \[f : \mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n \to \mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n\] tal que los vectores $f(\mathbf{v}) + \mathbf{v}$ , cuando $\mathbf{v}$ recorre todo $\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n$ , son distintos por pares. (Para cualquier entero $a$ y $b$ , los vectores $[a, b], [a + m, b]$ y $[a, b + n]$ se consideran iguales.)