En el triángulo $ABC$ con circuncírculo $\Gamma$ , el incírculo $\omega$ toca los lados $BC, CA$ , y $AB$ en $D, E$ , y $F$ , respectivamente. La línea que pasa por $D$ perpendicular a $EF$ se encuentra con $\omega$ en $K\neq D$ . La línea $AK$ se encuentra con $\Gamma$ en $L\neq A$ . Los rayos $KI$ y $IL$ se encuentran con el circuncírculo del triángulo $BIC$ en $Q\neq I$ y $P\neq I$ , respectivamente. Los circuncírculos de los triángulos $KFB$ y $KEC$ se encuentran con $EF$ en $R\neq F$ y $S\neq E$ , respectivamente. Pruebe que $PQRS$ es cíclico.

Para un entero positivo $n$ , sea $\varphi(n)$ y $d(n)$ denotan el valor de la función phi de Euler en $n$ y el número de divisores positivos de $n$ , respectivamente. Demuestre que hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $\varphi(n)$ y $d(n)$ son ambos cuadrados perfectos.

La circunferencia inscrita de un triángulo escaleno $ABC$ toca los lados $BC, CA$ y $AB$ en los puntos $D, E$ y $F$, respectivamente. Los triángulos $APE$ y $AQF$ se construyen fuera del triángulo de modo que\n\[AP =PE, AQ=QF, \angle APE=\angle ACB,\text{ y }\angle AQF =\angle ABC.\]\nSea $M$ el punto medio de $BC$. Encuentre $\angle QMP$ en términos de los ángulos del triángulo $ABC$.

Una secuencia ternaria es una en la que todos sus términos pertenecen al conjunto $\{0, 1, 2\}$. Sea $w$ una secuencia ternaria de longitud $n$ $(a_1,\ldots,a_n)$. Demuestre que $w$ se puede extender hacia la izquierda y hacia la derecha a una secuencia ternaria de longitud $m=6n$\n\[(d_1,\ldots,d_m) = (b_1,\ldots,b_p,a_1,\ldots,a_n,c_1,\ldots,c_q), \quad p,q\geqslant 0,\]\nque no contenga ninguna subsecuencia palindrómica de longitud $t > 2n$. (Una secuencia se llama palindrómica si se lee igual de derecha a izquierda que de izquierda a derecha. Una subsecuencia de longitud $t$ de $(d_1,\ldots,d_m)$ es una secuencia de la forma $(d_{i_1},\ldots,d_{i_t})$, donde $1\leqslant i_1<\cdots<i_t \leqslant m$. )

Determine el entero positivo más pequeño $k$ que satisface la siguiente condición:\nPara cualquier configuración de reinas de ajedrez en un tablero de ajedrez de $100 \times 100$, las reinas pueden ser coloreadas con uno de $k$ colores de manera que no haya dos reinas del mismo color que se ataquen entre sí.

Sea $n$ un entero positivo, y sea $\mathcal{C}$ una colección de subconjuntos de $\{1,2,\ldots,2^n\}$ que satisface ambas de las siguientes condiciones:\nCada subconjunto de $(2^n-1)$ elementos de $\{1,2,\ldots,2^n\}$ es un miembro de $\mathcal{C}$, y\nCada miembro no vacío $C$ de $\mathcal{C}$ contiene un elemento $c$ tal que $C\setminus\{c\}$ es también un miembro de $\mathcal{C}$.\nDetermine el tamaño más pequeño que $\mathcal{C}$ puede tener.

Bethan está jugando un juego en una cuadrícula de $n\times n$ que consta de $n^2$ celdas. Un movimiento consiste en colocar un contador en una celda no ocupada $C$ donde las otras $2n-2$ celdas en la misma fila o columna que $C$ contienen un número par de contadores. Después de realizar $M$ movimientos, Bethan se da cuenta de que no puede realizar más movimientos. Determine el valor mínimo de $M$ .

Sea $n>1$ un entero positivo y $\mathcal S$ sea el conjunto de las $n^{\text{th}}$ raíces de la unidad. Suponga que $P$ es un polinomio de $n$ variables con coeficientes complejos tal que para todo $a_1,\ldots,a_n\in\mathcal S$ , $P(a_1,\ldots,a_n)=0$ si y sólo si $a_1,\ldots,a_n$ son todos diferentes. ¿Cuál es el grado mínimo posible de $P$ ?

Demuestre que para todos los enteros positivos suficientemente grandes $d{}$ , al menos el $99\%$ de los polinomios de la forma \[\sum_{i\leqslant d}\sum_{j\leqslant d}\pm x^iy^j\] son irreducibles sobre los enteros.

Sea $E$ un conjunto de $n$ puntos en el plano ($n \geq 3$) cuyas coordenadas son números enteros tales que tres puntos cualesquiera de $E$ son vértices de un triángulo no degenerado cuyo centroide no tiene ambas coordenadas enteras. Determine el $n$ máximo.