Sean $x_1,x_2,\ldots$ la sucesión dada y sea $s_n=x_1+x_2+\ldots+x_n$ . Las condiciones de la hipótesis pueden escribirse ahora como $s_{n+7}<s_n$ y $s_{n+11}>s_n$ para todo $n\ge 1$ . Entonces tenemos: $0<s_{11}<s_4<s_{15}<s_8<s_1<s_{12}<s_5<s_{16}<s_9<s_2<s_{13}<s_6<s_{17}<s_{10}<s_3<s_{14}<s_7<0,$ una contradicción. Por lo tanto, la secuencia no puede tener $17$ términos. Para demostrar que $16$ es la respuesta, basta con tomar 16 números reales que satisfagan $s_{10}<s_3<s_{14}<s_7<0<s_{11}<s_4<s_{15}<s_8<s_1<s_{12}<s_5<s_{16}<s_9<s_2<s_{13}<s_6$ . Tenemos $x_1=s_1$ y $x_n=s_n-s_{n-1}$ para $n\ge 2$ . Así encontramos todas las secuencias con las propiedades dadas.

En una secuencia finita de números reales, la suma de cualesquiera siete términos sucesivos es negativa y la suma de cualesquiera once términos sucesivos es positiva. Determine el número máximo de términos en la secuencia.

Sea $E$ un conjunto finito de puntos tal que $E$ no está contenido en un plano y no hay tres puntos de $E$ que sean colineales. Demuestre que al menos una de las siguientes alternativas se cumple: (i) $E$ contiene cinco puntos que son vértices de una pirámide convexa que no tiene otros puntos en común con $E$; (ii) algún plano contiene exactamente tres puntos de $E$.

Sea $B$ un conjunto de $k$ secuencias cada una con $n$ términos iguales a $1$ o $-1$. El producto de dos de tales secuencias $(a_1, a_2, \ldots , a_n)$ y $(b_1, b_2, \ldots , b_n)$ se define como $(a_1b_1, a_2b_2, \ldots , a_nb_n)$ . Demuestre que existe una secuencia $(c_1, c_2, \ldots , c_n)$ tal que la intersección de $B$ y el conjunto que contiene todas las secuencias de $B$ multiplicadas por $(c_1, c_2, \ldots , c_n)$ contiene a lo sumo $\frac{k^2}{2^n}$ secuencias.

En el interior de un cuadrado $ABCD$ construimos los triángulos equiláteros $ABK, BCL, CDM, DAN$. Demuestre que los puntos medios de los cuatro segmentos $KL, LM, MN, NK$ y los puntos medios de los ocho segmentos $AK, BK, BL, CL, CM, DM, DN, AN$ son los 12 vértices de un dodecágono regular.

Sea $n$ un entero mayor que $1$. Definimos \[x_1 = n, y_1 = 1, x_{i+1} =\left[ \frac{x_i+y_i}{2}\right] , y_{i+1} = \left[ \frac{n}{x_{i+1}}\right], \qquad \text{para }i = 1, 2, \ldots\ ,\] donde $[z]$ denota el mayor entero menor o igual a $z$. Demuestre que \[ \min \{x_1, x_2, \ldots, x_n \} =[ \sqrt n ]\]

Sea $n$ un número dado mayor que 2. Consideramos el conjunto $V_n$ de todos los enteros de la forma $1 + kn$ con $k = 1, 2, \ldots$ Un número $m$ de $V_n$ se llama indescomponible en $V_n$ si no hay dos números $p$ y $q$ de $V_n$ de modo que $m = pq.$ Demostrar que existe un número $r \in V_n$ que puede expresarse como el producto de elementos indescomponibles en $V_n$ de más de una forma. (Las expresiones que difieren sólo en el orden de los elementos de $V_n$ se considerarán iguales.)

¿Para qué enteros positivos $n$ existen dos polinomios $f$ y $g$ con coeficientes enteros de $n$ variables $x_1, x_2, \ldots , x_n$ tales que se satisface la siguiente igualdad:\n\[\sum_{i=1}^n x_i f(x_1, x_2, \ldots , x_n) = g(x_1^2, x_2^2, \ldots , x_n^2) \ ?\]

Sea $S$ un cuadrilátero convexo $ABCD$ y $O$ un punto dentro de él. Los pies de las perpendiculares desde $O$ a $AB, BC, CD, DA$ son $A_1, B_1, C_1, D_1$ respectivamente. Los pies de las perpendiculares desde $O$ a los lados de $S_i$, el cuadrilátero $A_iB_iC_iD_i$, son $A_{i+1}B_{i+1}C_{i+1}D_{i+1}$, donde $i = 1, 2, 3.$ Demostrar que $S_4$ es similar a $S$.

Sean $a,b,A,B$ números reales dados. Consideramos la función definida por \n\[ f(x) = 1 - a \cdot \cos(x) - b \cdot \sin(x) - A \cdot \cos(2x) - B \cdot \sin(2x). \]\nDemostrar que si para cualquier número real $x$ tenemos $f(x) \geq 0$ entonces $a^2 + b^2 \leq 2$ y $A^2 + B^2 \leq 1.$