Sea $n$ un entero positivo. ¿Cuántas soluciones enteras $(i, j, k, l), 1 \leq i, j, k, l \leq n$, tiene el siguiente sistema de desigualdades?: \n\[1 \leq -j + k + l \leq n\] \n\[1 \leq i - k + l \leq n\] \n\[1 \leq i - j + l \leq n\] \n\[1 \leq i + j - k \leq n \ ?\]

Hay $2^n$ palabras de longitud $n$ sobre el alfabeto $\{0, 1\}$ . Demuestra que el siguiente algoritmo genera la secuencia $w_0, w_1, \ldots, w_{2^n-1}$ de todas estas palabras de tal manera que dos palabras consecutivas difieren en exactamente un dígito. (1) $w_0 = 00 \ldots 0$ ( $n$ ceros). (2) Supón que $w_{m-1} = a_1a_2 \ldots a_n,\quad a_i \in \{0, 1\}$ . Sea $e(m)$ el exponente de $2$ en la representación de $n$ como un producto de primos, y sea $j = 1 + e(m)$ . Reemplaza el dígito $a_j$ en la palabra $w_{m-1}$ por $1 - a_j$ . La palabra obtenida es $w_m$ .

Describe todas las figuras cerradas acotadas $\Phi$ en el plano, dos puntos cualesquiera de las cuales son conectables por un semicírculo que se encuentra en $\Phi$ .

Sean $a,b$ dos números naturales. Cuando dividimos $a^2+b^2$ por $a+b$ , obtenemos el residuo $r$ y el cociente $q.$ Determina todos los pares $(a, b)$ para los cuales $q^2 + r = 1977.$

Un punto reticular en el plano es un punto cuyas coordenadas son enteras. Cada punto reticular tiene cuatro puntos vecinos: superior, inferior, izquierdo y derecho. Sea $k$ un círculo con radio $r \geq 2$ , que no pasa por ningún punto reticular. Un punto frontera interior es un punto reticular que se encuentra dentro del círculo $k$ que tiene un punto vecino que se encuentra fuera de $k$ . De manera similar, un punto frontera exterior es un punto reticular que se encuentra fuera del círculo $k$ que tiene un punto vecino que se encuentra dentro de $k$ . Demuestra que hay cuatro puntos frontera exteriores más que puntos frontera interiores.

Encuentra todas las funciones $f : \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ que satisfacen la siguiente condición: \[f(n+1)>f(f(n)), \quad \forall n \in \mathbb{N}.\]

Sea $k$ un entero positivo y $a_1,a_2,\dots$ una secuencia infinita de enteros positivos tal que \[a_ia_{i+1} \mid k-a_i^2\] para todos los enteros $i \ge 1$. Demuestre que existe un entero positivo $M$ tal que $a_n=a_{n+1}$ para todos los enteros $n \ge M$.

Defina pegar enteros positivos como escribir sus representaciones en base diez una tras otra e interpretar el resultado como la representación en base diez de un solo entero positivo. Encuentre todos los enteros positivos $k$ para los cuales existe un entero $N_k$ con la siguiente propiedad: para todo $n \ge N_k$, podemos pegar los números $1,2,\dots,n$ en algún orden para que el resultado sea un número divisible por $k$. \nRemarca . La representación en base diez de un entero positivo nunca comienza con cero. \nEjemplo . Pegar $15, 14, 7$ en este orden hace $15147$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sea $M$ el punto medio del segmento $BC$. Sean $I, J, K$ los incentros de los triángulos $ABC$, $ABM$, $ACM$, respectivamente. Sean $P, Q$ puntos en las líneas $MK$, $MJ$, respectivamente, tales que $\angle AJP=\angle ABC$ y $\angle AKQ=\angle BCA$. Sea $R$ la intersección de las líneas $CP$ y $BQ$. Demuestre que las líneas $IR$ y $BC$ son perpendiculares.

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BAC=60^\circ$. Sea $D$ un punto en la línea $AC$ tal que $AB = AD$ y $A$ se encuentra entre $C$ y $D$. Suponga que hay dos puntos $E \ne F$ en la circunferencia circunscrita del triángulo $DBC$ tales que $AE = AF = BC$. Demuestre que la línea $EF$ pasa por el circuncentro de $ABC$.