Una secuencia finita $x_1,\dots,x_r$ de enteros positivos es un palíndromo si $x_i=x_{r+1-i}$ para todos los enteros $1 \le i \le r$. Sea $a_1,a_2,\dots$ una secuencia infinita de enteros positivos. Para un entero positivo $j \ge 2$, denote por $a[j]$ la subsecuencia finita $a_1,a_2,\dots,a_{j-1}$. Suponga que existe una secuencia infinita estrictamente creciente $b_1,b_2,\dots$ de enteros positivos tal que para cada entero positivo $n$, la subsecuencia $a[b_n]$ es un palíndromo y $b_{n+2} \le b_{n+1}+b_n$. Demuestre que existe un entero positivo $T$ tal que $a_i=a_{i+T}$ para cada entero positivo $i$.

Hay $2024$ matemáticos sentados en una fila al lado del río Tisza. Cada uno de ellos está trabajando en exactamente un tema de investigación, y si dos matemáticos están trabajando en el mismo tema, todos los que están sentados entre ellos también están trabajando en él. Marvin está tratando de averiguar para cada par de matemáticos si están trabajando en el mismo tema. Se le permite preguntar a cada matemático la siguiente pregunta: '¿Cuántos de estos 2024 matemáticos están trabajando en su tema?'. Hace las preguntas una por una, por lo que conoce todas las respuestas anteriores antes de hacer la siguiente. Determine el entero positivo más pequeño $k$ tal que Marvin siempre pueda lograr su objetivo con a lo sumo $k$ preguntas.

Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que \[yf(x+1)=f(x+y-f(x))+f(x)f(f(y))\] para todos los $x,y \in \mathbb{R}$.

Considere dos sucesiones infinitas $a_0,a_1,a_2,\dots$ y $b_0,b_1,b_2,\dots$ de números reales tales que $a_0=0$, $b_0=0$ y \[a_{k+1}=b_k, \quad b_{k+1}=\frac{a_kb_k+a_k+1}{b_k+1}\] para cada entero $k \ge 0$. Demuestre que $a_{2024}+b_{2024} \ge 88$.

Determine todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes enteros tales que $P(n)$ es divisible por $\sigma(n)$ para todos los enteros positivos $n$. (Como es usual, $\sigma(n)$ denota la suma de todos los divisores positivos de $n$.)

Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo. Elija un círculo $\omega$ que pase por $B$ y $C$ que interseca los segmentos $AB$ y $AC$ en los puntos interiores $D$ y $E$, respectivamente. Las líneas $BE$ y $CD$ se intersecan en $F$. Sea $G$ un punto en la circunferencia circunscrita de $ABF$ tal que $GB$ es tangente a $\omega$ y sea $H$ un punto en la circunferencia circunscrita de $ACF$ tal que $HC$ es tangente a $\omega$. Demuestre que existe un punto $T\neq A$, independiente de la elección de $\omega$, tal que la circunferencia circunscrita del triángulo $AGH$ pasa por $T$.

Hay una hoja rectangular de papel en una pizarra infinita. Marvin elige secretamente un $2024$ - gono convexo $P$ que se encuentra completamente en la hoja de papel. Tigerin quiere encontrar los vértices de $P$. En cada paso, Tigerin puede dibujar una línea $g$ en la pizarra que está completamente fuera de la hoja de papel, luego Marvin responde con la línea $h$ paralela a $g$ que es la más cercana a $g$ que pasa por al menos un vértice de $P$. Demuestre que existe un entero positivo $n$, independiente de la elección del polígono, tal que Tigerin siempre puede determinar los vértices de $P$ en a lo sumo $n$ pasos.

Sea $\mathbb{N}_0$ el conjunto de los enteros no negativos. Determine todos los enteros no negativos $k$ para los cuales existe una función $f: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0$ tal que $f(2024) = k$ y $f(f(n)) \leq f(n+1) - f(n)$ para todos los enteros no negativos $n$.

Encuentra todos los enteros positivos $d$ para los cuales existen polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ con coeficientes reales tales que el grado de $P$ es igual a $d$ y $$P(x)^2+1=(x^2+1)Q(x)^2.$$

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de todos los enteros positivos. Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tales que $$x^2-y^2+2y(f(x)+f(y))$$ es un cuadrado de un entero para todos los enteros positivos $x$ e $y$.