Sea $ABC$ un triángulo y sean $D, E$ y $F$ los puntos medios de los lados $BC, CA$ y $AB$, respectivamente. Sea $X\ne A$ la intersección de $AD$ con la circunferencia circunscrita de $ABC$. Sea $\Omega$ el círculo que pasa por $D$ y $X$, tangente a la circunferencia circunscrita de $ABC$. Sean $Y$ y $Z$ las intersecciones de la tangente a $\Omega$ en $D$ con las bisectrices perpendiculares de los segmentos $DE$ y $DF$, respectivamente. Sea $P$ la intersección de $YE$ y $ZF$ y sea $G$ el centroide de $ABC$. Demuestra que las tangentes en $B$ y $C$ a la circunferencia circunscrita de $ABC$ y la línea $PG$ son concurrentes.

Alice dibujó un $2021$ - gono regular en el plano. Bob luego etiquetó cada vértice del $2021$ - gono con un número real, de tal manera que las etiquetas de los vértices consecutivos difieren en como máximo $1$. Luego, para cada par de vértices no consecutivos cuyas etiquetas difieren en como máximo $1$, Alice dibujó una diagonal que los conecta. Sea $d$ el número de diagonales que dibujó Alice. Encuentra el valor mínimo posible que $d$ puede obtener.

Sea $n$ un entero positivo. Morgane ha coloreado los enteros $1,2,\ldots,n$. Cada uno de ellos está coloreado en exactamente un color. Resultó que para todos los enteros positivos $a$ y $b$ tales que $a<b$ y $a+b \leqslant n$, al menos dos de los enteros entre $a$, $b$ y $a+b$ son del mismo color. Demuestra que existe un color que se ha utilizado para al menos $2n/5$ enteros.

Sea $\ell$ un entero positivo. Decimos que un entero positivo $k$ es agradable si $k!+\ell$ es el cuadrado de un entero. Demuestra que para cada entero positivo $n \geqslant \ell$, el conjunto $\{1, 2, \ldots,n^2\}$ contiene como máximo $n^2-n +\ell$ enteros agradables.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $|AB|<|AC|$. Sean $X$ e $Y$ puntos en el arco menor ${BC}$ de la circunferencia circunscrita de $ABC$ tal que $|BX|=|XY|=|YC|$. Suponga que existe un punto $N$ en el segmento $\overline{AY}$ tal que $|AB|=|AN|=|NC|$. Demuestra que la línea $NC$ pasa por el punto medio del segmento $\overline{AX}$.

Decimos que una cuádrupla de números reales no negativos $(a,b,c,d)$ es balanceada si $$a+b+c+d=a^2+b^2+c^2+d^2.$$ Encuentra todos los números reales positivos $x$ tales que $$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)\geq 0$$ para cada cuádrupla balanceada $(a,b,c,d)$.

Sea $A$ el conjunto de todos los polinomios $f(x)$ de orden $3$ con coeficientes enteros y coeficiente cúbico $1$, de modo que para cada $f(x)$ existe un número primo $p$ que no divide a $2004$ y un número $q$ que es coprimo con $p$ y $2004$, de modo que $f(p)=2004$ y $f(q)=0$. Demuestra que existe un subconjunto infinito $B\subset A$, de modo que las gráficas de funciones de los miembros de $B$ son idénticas excepto por traslaciones.

Sean $A_1,A_2,\ldots , A_n$ $(n\geq 3)$ conjuntos finitos de enteros positivos. Demuestra que\n\[ \displaystyle \frac{1}{n} \left( \sum_{i=1}^n |A_i|\right) + \frac{1}{{{n}\choose{3}}}\sum_{1\leq i < j < k \leq n} |A_i \cap A_j \cap A_k| \geq \frac{2}{{{n}\choose{2}}}\sum_{1\leq i < j \leq n}|A_i \cap A_j| \] se cumple, donde $|E|$ es la cardinalidad del conjunto $E$

Sean $k$ y $k'$ círculos concéntricos con centro $O$ y radio $R$ y $R'$ donde $R<R'$ se cumple. Una línea que pasa por $O$ interseca a $k$ en $A$ y a $k'$ en $B$ donde $O$ está entre $A$ y $B$. Otra línea que pasa por $O$ y es distinta de $AB$ interseca a $k$ en $E$ y a $k'$ en $F$ donde $E$ está entre $O$ y $F$. Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $OAE$ y $OBF$, el círculo con diámetro $EF$ y el círculo con diámetro $AB$ son concurrentes.

El profesor le dice a Peter el producto de dos enteros positivos y a Sam su suma. Al principio, ninguno de ellos conoce el número del otro. Uno de ellos dice: 'No puedes adivinar mi número'. Entonces el otro dice: 'Estás equivocado, el número es 136'. ¿Qué número les dijo el profesor respectivamente? Da razones para tu afirmación.