Suponga que cuatro personas A, B, C y D deciden jugar partidos de dobles de tenis. Primero podrían jugar el equipo A y B contra el equipo C y D. Luego A y C podrían jugar B y D. Finalmente A y D podrían jugar B y C. La ventaja de esta disposición es que se cumplen dos condiciones. (a) Cada jugador está en el mismo equipo que cada otro jugador exactamente una vez. (b) Cada jugador está en el equipo contrario a cada otro jugador exactamente dos veces. ¿Es posible organizar una colección de partidos de tenis que satisfagan ambas condiciones (a) y condición (b) en las siguientes circunstancias? (i) Hay cinco jugadores. (ii) Hay siete jugadores. (iii) Hay nueve jugadores.

Considere el triángulo acutángulo $ABC$ . Sea $X$ un punto en el lado $BC$ , y $Y$ un punto en el lado $CA$ . El círculo $k_1$ con diámetro $AX$ corta a $AC$ nuevamente en $E'$ . El círculo $k_2$ con diámetro $BY$ corta a $BC$ nuevamente en $B'$ . (i) Sea $M$ el punto medio de $XY$ . Demuestre que $A'M = B'M$ . (ii) Suponga que $k_1$ y $k_2$ se encuentran en $P$ y $Q$ . Demuestre que el ortocentro de $ABC$ se encuentra en la línea $PQ$

Sea $x$ un número real que satisface $x^1 + x^{-1} = 3$. Demuestre que $x^n + x^{-n}$ es un entero positivo, luego demuestre que el entero positivo $x^{3^{1437}}+x^{3^{-1437}}$ es divisible por al menos $1439 \times 2^{1437}$ enteros positivos

Considere las secuencias $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ , $\cdots$ de enteros no negativos definidos seleccionando cualquier $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ (no todos 0) y para cada $n$ $\geq$ 3 permitiendo $a_n$ = | $a_{n-1}$ - $a_{n-3}$ | 1-En el caso particular que $a_0$ = 1 , $a_1$ = 3 y $a_2$ = 2, calcule el comienzo de la secuencia, listando $a_0$ , $a_1$ , $\cdots$ , $a_{19}$ , $a_{20}$ . 2-Demuestre que para cada secuencia, hay una constante $c$ tal que $a_i$ $\leq$ $c$ para todo $i$ $\geq$ 0. Note que la constante $c$ puede depender de los números $a_0$ , $a_1$ y $a_2$ 3-Demuestre que, para cada elección de $a_0$ , $a_1$ y $a_2$ , la secuencia resultante es eventualmente periódica. 4-Demuestre que, la longitud mínima p del período descrito en (3) es la misma para todos los valores iniciales permitidos $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ de la secuencia

Hallar la suma de las potencias quincuagésimas de todos los lados y diagonales de un $100$ - gono regular inscrito en una circunferencia de radio $R.$

En un plano se dan dos puntos distintos $A,B$ y dos líneas $a, b$ que pasan por $B$ y $A$ respectivamente $(a \ni B, b \ni A)$ tal que la línea $AB$ está igualmente inclinada a a y b. Encontrar el lugar geométrico de los puntos $M$ en el plano tal que el producto de las distancias de $M$ a $A$ y a es igual al producto de las distancias de $M$ a $B$ y $b$ (i.e., $MA \cdot MA' = MB \cdot MB'$ , donde $A'$ y $B'$ son los pies de las perpendiculares desde $M$ a $a$ y $b$ respectivamente).

Sea $ABC$ un triángulo no equilátero. Demostrar que existen dos puntos $P$ y $Q$ en el plano del triángulo, uno en el interior y otro en el exterior de la circunferencia circunscrita de $ABC$ , tales que las proyecciones ortogonales de cualquiera de estos dos puntos en los lados del triángulo son vértices de un triángulo equilátero.

Demostrar que para todo $x_1, x_2,\ldots , x_n \in \mathbb R$ se cumple la siguiente desigualdad: \[\sum_{n \geq i >j \geq 1} \cos^2(x_i - x_j ) \geq \frac{n(n-2)}{4}\]

Demostrar que cada partición del espacio de dimensión $3$ en tres subconjuntos disjuntos tiene la siguiente propiedad: Uno de estos subconjuntos contiene todas las distancias posibles; es decir, para cada $a \in \mathbb R^+$ , existen puntos $M$ y $N$ dentro de ese subconjunto tal que la distancia entre $M$ y $N$ es exactamente $a$.

Sea $d_n$ el último dígito distinto de cero de la representación decimal de $n!$. Demuestre que $d_n$ es aperiódica; es decir, no existen $T$ y $n_0$ tales que para todo $n \geq n_0, d_{n+T} = d_n.$