Olimpiada IMO Listas Largas 1983 Problema 69
Sea $A$ uno de los dos puntos distintos de intersección de dos círculos coplanares desiguales $C_1$ y $C_2$ con centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente. Una de las tangentes comunes a los círculos toca a $C_1$ en $P_1$ y a $C_2$ en $P_2$ , mientras que la otra toca a $C_1$ en $Q_1$ y a $C_2$ en $Q_2$ . Sea $M_1$ el punto medio de $P_1Q_1$ y $M_2$ el punto medio de $P_2Q_2$ . Demuestre que $\angle O_1AO_2=\angle M_1AM_2$ .
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Olimpiada IMO Listas Largas 1983 Problema 68
Tres de las raíces de la ecuación $x^4 -px^3 +qx^2 -rx+s = 0$ son $\tan A, \tan B$ , y $\tan C$ , donde $A, B$ , y $C$ son ángulos de un triángulo. Determine la cuarta raíz como una función solo de $p, q, r$ , y $s.$
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Olimpiada IMO Listas Largas 1983 Problema 67
La altura desde un vértice de un tetraedro dado interseca la cara opuesta en su ortocentro. Demuestre que las cuatro alturas del tetraedro son concurrentes.
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Olimpiada IMO Listas Largas 1983 Problema 66
Sean $ a$, $ b$ y $ c$ las longitudes de los lados de un triángulo. Demuestre que \[ a^{2}b(a - b) + b^{2}c(b - c) + c^{2}a(c - a)\ge 0. \] Determine cuándo ocurre la igualdad.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Larga 1983 Problema 65
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo cuyas diagonales $AC$ y $BD$ se intersecan en un punto $P$. Demuestre que $\frac{AP}{PC}=\frac{\cot \angle BAC + \cot \angle DAC}{\cot \angle BCA + \cot \angle DCA}$
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Larga 1983 Problema 64
La suma de todos los ángulos de las caras alrededor de todos los vértices excepto uno de un poliedro dado es $5160$. Encuentre la suma de todos los ángulos de las caras del poliedro.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Larga 1983 Problema 63
Sea $n$ un entero positivo que tiene al menos dos factores primos diferentes. Demuestre que existe una permutación $a_1, a_2, \dots , a_n$ de los enteros $1, 2, \dots , n$ tal que $\sum_{k=1}^{n} k \cdot \cos \frac{2 \pi a_k}{n}=0$.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Larga 1983 Problema 62
Se dibuja un círculo $\gamma$ y sea $AB$ un diámetro. El punto $C$ en $\gamma$ es el punto medio del segmento de línea $BD$. Los segmentos de línea $AC$ y $DO$, donde $O$ es el centro de $\gamma$, se intersecan en $P$. Demuestre que hay un punto $E$ en $AB$ tal que $P$ está en el círculo con diámetro $AE$.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Larga 1983 Problema 61
Sean $a$ y $b$ enteros. ¿Es posible encontrar enteros $p$ y $q$ tales que los enteros $p+na$ y $q +nb$ no tengan un factor primo común sin importar cómo se elija el entero $n$?
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Olimpiada Internacional de Matemáticas (Listas Largas) 1983 Problema 60
Encuentra el mayor entero menor o igual a $\sum_{k=1}^{2^{1983}} k^{\frac{1}{1983} -1}.$
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