Resuelve la ecuación \[\tan^2(2x) + 2 \tan(2x) \cdot \tan(3x) -1 = 0.\]

En un examen, participan $3n$ estudiantes, que están ubicados en tres filas de $n$ estudiantes en cada una. Los estudiantes abandonan la sala de examen uno por uno. Si $N_1(t), N_2(t), N_3(t)$ denotan los números de estudiantes en la primera, segunda y tercera fila respectivamente en el tiempo $t$ , encuentra la probabilidad de que para cada t durante el examen, \[|N_i(t) - N_j(t)| < 2, i \neq j, i, j = 1, 2, \dots .\]

En el sistema de base $n^2 + 1$ encuentra un número $N$ con $n$ dígitos diferentes tal que: (i) $N$ es un múltiplo de $n$ . Sea $N = nN'.$ (ii) El número $N$ y $N'$ tienen el mismo número $n$ de dígitos diferentes en base $n^2 + 1$ , ninguno de ellos siendo cero. (iii) Si $s(C)$ denota el número en base $n^2 + 1$ obtenido al aplicar la permutación $s$ a los $n$ dígitos del número $C$ , entonces para cada permutación $s, s(N) = ns(N').$

Considera la expansión \[(1 + x + x^2 + x^3 + x^4)^{496} = a_0 + a_1x + \cdots + a_{1984}x^{1984}.\] (a) Determina el máximo común divisor de los coeficientes $a_3, a_8, a_{13}, \ldots , a_{1983}.$ (b) Demuestra que $10^{340 }< a_{992} < 10^{347}.$

Para cada $a \in \mathbb N$ denote por $M(a)$ el número de elementos del conjunto \[ \{ b \in \mathbb N | a + b \text{ es un divisor de } ab \}.\] Encuentre $\max_{a\leq 1983} M(a).$

Encuentre todas las soluciones del siguiente sistema de $n$ ecuaciones en $n$ variables: \[\begin{array}{c}\ x_1|x_1| - (x_1 - a)|x_1 - a| = x_2|x_2|,x_2|x_2| - (x_2 - a)|x_2 - a| = x_3|x_3|,\ \vdots \ x_n|x_n| - (x_n - a)|x_n - a| = x_1|x_1|\end{array}\] donde $a$ es un número dado.

Sea $a \in \mathbb R$ y sean $z_1, z_2, \ldots, z_n$ números complejos de módulo $1$ que satisfacen la relación \[\sum_{k=1}^n z_k^3=4(a+(a-n)i)- 3 \sum_{k=1}^n \overline{z_k}\]\nPruebe que $a \in \{0, 1,\ldots, n \}$ y $z_k \in \{1, i \}$ para todo $k.$

Sea $(F_n)_{n\geq 1} $ la sucesión de Fibonacci $F_1 = F_2 = 1, F_{n+2} = F_{n+1} + F_n (n \geq 1),$ y $P(x)$ el polinomio de grado $990$ que satisface \[ P(k) = F_k, \qquad \text{ para } k = 992, . . . , 1982.\n] Pruebe que $P(1983) = F_{1983} - 1.$

Decida si existe un conjunto $M$ de enteros positivos que satisfaga las siguientes condiciones: \n(i) Para cualquier número natural $m>1$ existen $a, b \in M$ tales que $a+b = m.$\n(ii) Si $a, b, c, d \in M$ , $a, b, c, d > 10$ y $a + b = c + d$ , entonces $a = c$ o $a = d.$

¿Es posible elegir $1983$ enteros positivos distintos, todos menores o iguales que $10^5$, ninguno de los cuales son términos consecutivos de una progresión aritmética?