Dados enteros positivos $k,m, n$ con $km \leq n$ y números reales no negativos $x_1, \ldots , x_k$, demuestre que \[n \left( \prod_{i=1}^k x_i^m -1 \right) \leq m \sum_{i=1}^k (x_i^n-1).\]

Demuestre que en cualquier paralelepípedo la suma de las longitudes de las aristas es menor o igual que el doble de la suma de las longitudes de las cuatro diagonales.

En un plano, se dan tres círculos $C_1, C_2, C_3$ que se intersectan por pares con centros $M_1,M_2,M_3$. Para $i = 1, 2, 3$, sea $A_i$ uno de los puntos de intersección de $C_j$ y $C_k \ (\{i, j, k \} = \{1, 2, 3 \})$. Demuestre que si $ \angle M_3A_1M_2 = \angle M_1A_2M_3 = \angle M_2A_3M_1 = \frac{\pi}{3}$ (ángulos dirigidos), entonces $M_1A_1, M_2A_2$ , y $M_3A_3$ son concurrentes.

Sea $f$ una función con valores reales definida en $I = (0,+\infty)$ y que no tiene ceros en $I$. Suponga que \[\lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{f(x)}=+\infty.\] Para la secuencia $u_n = \ln \left| \frac{f(n+1)}{f(n)} \right|$ , demuestre que $u_n \to +\infty$ cuando $n \to +\infty.$

Sean dos vasos, numerados $1$ y $2$, que contienen una cantidad igual de líquido, leche en el vaso $1$ y café en el vaso $2$. Se hace lo siguiente: Tome una cuchara de mezcla del vaso $1$ y viértala en el vaso $2$, y luego tome la misma cuchara de la nueva mezcla del vaso $2$ y viértala de nuevo en el primer vaso. ¿Qué sucede después de que esta operación se repite $n$ veces, y qué pasa cuando $n$ tiende a infinito?

Tenemos doce monedas, una de las cuales es falsa con una masa diferente a las otras once. Determine esa moneda con tres pesadas y si es más pesada o más ligera que las demás.

Dado un cuadrado $ABCD$, sean $P, Q, R$ y $S$ cuatro puntos variables en los lados $AB, BC, CD$ y $DA$, respectivamente. Determine las posiciones de los puntos $P, Q, R$ y $S$ para los cuales el cuadrilátero $PQRS$ es un paralelogramo, un rectángulo, un cuadrado o un trapecio.

Considera el cuadrado $ABCD$ en el que se dibuja un segmento entre cada vértice y los puntos medios de ambos lados opuestos. Encuentra la razón del área del octágono determinado por estos segmentos y el área del cuadrado $ABCD$.

Sea $E$ el conjunto de $1983^3$ puntos del espacio $\mathbb R^3$ cuyas tres coordenadas son enteros entre $0$ y $1982$ (incluyendo $0$ y $1982$). Un coloreo de $E$ es una función de $E$ al conjunto {rojo, azul}. ¿Cuántos coloreos de $E$ hay que satisfacen la siguiente propiedad: El número de vértices rojos entre los $8$ vértices de cualquier paralelepípedo rectángulo es un múltiplo de $4$?

Cuatro caras del tetraedro $ABCD$ son triángulos congruentes cuyos ángulos forman una progresión aritmética. Si las longitudes de los lados de los triángulos son $a < b < c$ , determine el radio de la esfera circunscrita al tetraedro como una función de $a, b$ , y $c$ . ¿Cuál es la razón $c/a$ si $R = a \ ?$