Si $\alpha $ es la raíz real de la ecuación \[E(x) = x^3 - 5x -50 = 0\] tal que $x_{n+1} = (5x_n + 50)^{1/3}$ y $x_1 = 5$ , donde $n$ es un entero positivo, demuestre que: (a) $x_{n+1}^3 - \alpha^3 = 5(x_n - \alpha)$ (b) $\alpha < x_{n+1} < x_n.$

Sea $\{u_n \}$ la sucesión definida por sus dos primeros términos $u_0, u_1$ y la fórmula de recurrencia \[u_{n+2 }= u_n - u_{n+1}.\] (a) Demuestre que $u_n$ puede escribirse en la forma $u_n = \alpha a^n + \beta b^n$ , donde $a, b, \alpha, \beta$ son constantes independientes de $n$ que deben determinarse. (b) Si $S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$ , demuestre que $S_n + u_{n-1}$ es una constante independiente de $n.$ Determine esta constante.

Los puntos $A_1,A_2, \ldots , A_{1983}$ están situados en la circunferencia de un círculo y a cada uno se le asigna uno de los valores $\pm 1$ . Demuestre que si el número de puntos con el valor $+1$ es mayor que $1789$ , entonces al menos $1207$ de los puntos tendrán la propiedad de que las sumas parciales que se pueden formar tomando los números desde ellos hasta cualquier otro punto, en cualquier dirección, son estrictamente positivas.

El conjunto $X$ tiene $1983$ miembros. Existe una familia de subconjuntos $\{S_1, S_2, \ldots , S_k \}$ tal que: (i) la unión de cualesquiera tres de estos subconjuntos es el conjunto completo $X$ , mientras que (ii) la unión de cualesquiera dos de ellos contiene como máximo $1979$ miembros. ¿Cuál es el mayor valor posible de $k ?$

Sean $P_1, P_2, \dots , P_n$ puntos distintos del plano, $n \geq 2$ . Demuestra que \[ \max_{1\leq i<j\leq n} P_iP_j > \frac{\sqrt 3}{2}(\sqrt n -1) \min_{1\leq i<j\leq n} P_iP_j \]

En un plano se dan n puntos $P_i \ (i = 1, 2, \ldots , n)$ y dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ . Sobre cada uno de los segmentos $P_iP_{i+1} \ (P_{n+1} = P_1)$ un punto $Q_i$ se construye tal que para todo $i$ : (i) al moverse de $P_i$ a $P_{i+1}, Q_i$ se ve en el mismo lado de $P_iP_{i+1}$ , (ii) $\angle P_{i+1}P_iQ_i = \alpha,$ (iii) $\angle P_iP_{i+1}Q_i = \beta.$ Además, sea $g$ una línea en el mismo plano con la propiedad de que todos los puntos $P_i,Q_i$ se encuentran en el mismo lado de $g$ . Demuestra que \[\sum_{i=1}^n d(P_i, g)= \sum_{i=1}^n d(Q_i, g).\] donde $d(M,g)$ denota la distancia desde el punto $M$ a la línea $g.$

Sea $F(n)$ el conjunto de polinomios $P(x) = a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ , con $a_0, a_1, . . . , a_n \in \mathbb R$ y $0 \leq a_0 = a_n \leq a_1 = a_{n-1 } \leq \cdots \leq a_{[n/2] }= a_{[(n+1)/2]}.$ Demuestra que si $f \in F(m)$ y $g \in F(n)$ , entonces $fg \in F(m + n).$

Sean $a, b, c$ números reales positivos y sea $[x]$ denote el mayor entero que no excede al número real $x$ . Suponga que $f$ es una función definida en el conjunto de los enteros no negativos $n$ y que toma valores reales tal que $f(0) = 0$ y \[f(n) \leq an + f([bn]) + f([cn]), \qquad \text{ para todo } n \geq 1.\] Demuestra que si $b + c < 1$ , existe un número real $k$ tal que \[f(n) \leq kn \qquad \text{ para todo } n \qquad (1)\] mientras que si $b + c = 1$ , existe un número real $K$ tal que $f(n) \leq K n \log_2 n$ para todo $n \geq 2$ . Muestra que si $b + c = 1$ , puede que no exista un número real $k$ que satisfaga $(1).$

Encuentra todas las funciones $f$ definidas en el conjunto de los reales positivos que toman valores reales positivos y satisfacen: $f(xf(y))=yf(x)$ para todo $x,y$ ; y $f(x)\to0$ cuando $x\to\infty$ .

Demuestre la existencia de una secuencia única $\{u_n\} \ (n = 0, 1, 2 \ldots )$ de enteros positivos tales que\n\[u_n^2 = \sum_{r=0}^n \binom{n+r}{r} u_{n-r} \qquad \text{para todo } n \geq 0\]