Sea $O$ un punto fuera de un círculo dado. Dos líneas $OAB, OCD$ que pasan por $O$ se encuentran con el círculo en $A,B,C,D$ , donde $A,C$ son los puntos medios de $OB,OD$ , respectivamente. Además, el ángulo agudo $\theta$ entre las líneas es igual al ángulo agudo en el que cada línea corta el círculo. Encuentre $\cos \theta$ y demuestre que las tangentes en $A,D$ al círculo se encuentran en la línea $BC.$

Demuestre que si los lados $a, b, c$ de un triángulo satisfacen la ecuación\n\[2(ab^2 + bc^2 + ca^2) = a^2b + b^2c + c^2a + 3abc,\] entonces el triángulo es equilátero. Demuestre también que la ecuación puede ser satisfecha por números reales positivos que no son los lados de un triángulo.

Sean $a,b$ y $c$ enteros positivos, de los cuales no dos tienen un divisor común mayor que $1$ . Demuestre que $2abc-ab-bc-ca$ es el entero más grande que no puede expresarse en la forma $xbc+yca+zab$ , donde $x,y,z$ son enteros no negativos.

Sean $a, b, c$ enteros positivos que satisfacen $\gcd (a, b) = \gcd (b, c) = \gcd (c, a) = 1$ . Demuestre que $2abc-ab-bc-ca$ no puede representarse como $bcx+cay +abz$ con enteros no negativos $x, y, z.$

¿Cuántas permutaciones $a_1, a_2, \ldots, a_n$ de $\{1, 2, . . ., n \}$ se ordenan en orden creciente con como máximo tres repeticiones de la siguiente operación: Mover de izquierda a derecha e intercambiar $a_i$ y $a_{i+1}$ siempre que $a_i > a_{i+1}$ para $i$ desde $1$ hasta $n - 1 \ ?$

Cada $x, 0 \leq x \leq 1$, admite una representación única $x = \sum_{j=0}^{\infty} a_j 2^{-j}$, donde todos los $a_j$ pertenecen a $\{0, 1\}$ e infinitos de ellos son $0$. Si $b(0) = \frac{1+c}{2+c}, b(1) =\frac{1}{2+c},c > 0$, y\n\[f(x)=a_0 + \sum_{j=0}^{\infty}b(a_0) \cdots b(a_j) a_{j+1}\]\nmostrar que $0 < f(x) -x < c$ para todo $x, 0 < x < 1.$

Sean $p$ y $q$ enteros. Demostrar que existe un intervalo $I$ de longitud $1/q$ y un polinomio $P$ con coeficientes enteros tal que\n\[ \left|P(x)-\frac pq \right| < \frac{1}{q^2}\]\npara todo $x \in I.$

¿Existe un número infinito de conjuntos $C$ que constan de $1983$ números naturales consecutivos tales que cada uno de los números es divisible por algún número de la forma $a^{1983}$, con $a \in \mathbb N, a \neq 1?$

Demostrar que existen infinitos enteros positivos $n$ para los cuales es posible para un caballo, comenzando en uno de los cuadrados de un tablero de ajedrez de $n \times n$, recorrer cada uno de los cuadrados exactamente una vez.

Sean $f$ y $g$ funciones del conjunto $A$ al mismo conjunto $A$ . Definimos $f$ como una raíz funcional $n$ - ésima de $g$ ( $n$ es un entero positivo) si $f^n(x) = g(x)$ , donde $f^n(x) = f^{n-1}(f(x)).$ (a) Demuestre que la función $g : \mathbb R \to \mathbb R, g(x) = 1/x$ tiene un número infinito de raíces funcionales $n$ - ésimas para cada entero positivo $n.$ (b) Demuestre que existe una biyección de $\mathbb R$ sobre $\mathbb R$ que no tiene raíz funcional n-ésima para cada entero positivo $n.$