Sea $a$ un entero positivo y sea $\{a_n\}$ definido por $a_0 = 0$ y \[a_{n+1 }= (a_n + 1)a + (a + 1)a_n + 2 \sqrt{a(a + 1)a_n(a_n + 1)} \qquad (n = 1, 2 ,\dots ).\] Demuestre que para cada entero positivo $n$ , $a_n$ es un entero positivo.

Sea $b \geq 2$ un entero positivo. (a) Demuestre que para que un entero $N$ , escrito en base $b$ , sea igual a la suma de los cuadrados de sus dígitos, es necesario que $N = 1$ o que $N$ tenga solo dos dígitos. (b) Dé una lista completa de todos los enteros que no superen $50$ que, con respecto a alguna base $b$ , sean iguales a la suma de los cuadrados de sus dígitos. (c) Demuestre que para cualquier base b, el número de enteros de dos dígitos que son iguales a la suma de los cuadrados de sus dígitos es par. (d) Demuestre que para cualquier base impar $b$ existe un entero distinto de $1$ que es igual a la suma de los cuadrados de sus dígitos.

¿De cuántas maneras se pueden ordenar $1, 2,\ldots, 2n$ en una matriz rectangular de $2 \times n$ $\left(\begin{array}{cccc}a_1& a_2 & \cdots & a_n\\b_1& b_2 & \cdots & b_n\end{array}\right)$ para la cual: (i) $a_1 < a_2 < \cdots < a_n,$ (ii) $b_1 < b_2 <\cdots < b_n,$ (iii) $a_1 < b_1, a_2 < b_2, \ldots, a_n < b_n \ ?$

Suponga que ${x_1, x_2, \dots , x_n}$ son enteros positivos para los cuales $x_1 + x_2 + \cdots+ x_n = 2(n + 1)$ . Demuestre que existe un entero $r$ con $0 \leq r \leq n - 1$ para el cual se cumplen las siguientes $n - 1$ desigualdades: \[x_{r+1} + \cdots + x_{r+i} \leq 2i+ 1, \qquad \qquad \forall i, 1 \leq i \leq n - r; \] \[x_{r+1} + \cdots + x_n + x_1 + \cdots+ x_i \leq 2(n - r + i) + 1, \qquad \qquad \forall i, 1 \leq i \leq r - 1.\]

Encuentra todas las secuencias finitas posibles $\{n_0, n_1, n_2, \ldots, n_k \}$ de enteros tales que para cada $i, i$ aparece en la secuencia $n_i$ veces $(0 \leq i \leq k).$

Sea $\ell$ tangente al círculo $k$ en $B$. Sea $A$ un punto en $k$ y $P$ el pie de la perpendicular desde $A$ a $\ell$. Sea $M$ simétrico a $P$ con respecto a $AB$. Encuentra el conjunto de todos esos puntos $M$.

Sea $p$ un número primo y $a_1, a_2, \ldots, a_{(p+1)/2}$ diferentes números naturales menores o iguales que $p$. Demuestra que para cada número natural $r$ menor o igual que $p$, existen dos números (quizás iguales) $a_i$ y $a_j$ tales que \[p \equiv a_i a_j \pmod r.\]

El número $0$ o $1$ debe asignarse a cada uno de los $n$ vértices de un polígono regular. ¿De cuántas maneras diferentes se puede hacer esto (si consideramos dos asignaciones que se pueden obtener una de la otra mediante rotación en el plano del polígono para que sean idénticas)?

Un niño en el punto $A$ quiere sacar agua de un lago circular y llevarla al punto $B$. Encuentra el punto $C$ en el lago tal que la distancia recorrida por el niño sea la más corta posible, dado que la línea $AB$ y el lago son exteriores entre sí.

¿Cuál de los números $1, 2, \ldots , 1983$ tiene el mayor número de divisores?