Considere el conjunto de todas las secuencias estrictamente decrecientes de $n$ números naturales que tienen la propiedad de que en cada secuencia ningún término divide a ningún otro término de la secuencia. Sean $A = (a_j)$ y $B = (b_j)$ dos secuencias de este tipo. Decimos que $A$ precede a $B$ si para algún $k$ , $a_k < b_k$ y $a_i = b_i$ para $i < k$ . Encuentre los términos de la primera secuencia del conjunto bajo este ordenamiento.

En los lados del triángulo $ABC$ , se construyen tres triángulos isósceles similares $ABP \ (AP = PB)$ , $AQC \ (AQ = QC)$ , y $BRC \ (BR = RC)$ . Los dos primeros se construyen externamente al triángulo $ABC$ , pero el tercero se coloca en el mismo semiplano determinado por la línea $BC$ que el triángulo $ABC$ . Demuestre que $APRQ$ es un paralelogramo.

Encuentre todos los números $x \in \mathbb Z$ para los cuales el número \[x^4 + x^3 + x^2 + x + 1\] es un cuadrado perfecto.

Sean $ a$ , $ b$ y $ c$ las longitudes de los lados de un triángulo. Demostrar que \[ a^{2}b(a - b) + b^{2}c(b - c) + c^{2}a(c - a)\ge 0. \] Determinar cuándo se da la igualdad.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Sea $f$ una función definida en $\mathbb{N}$ , que satisface la desigualdad $f(n + 1) > f(f(n))$ para todo $n \in \mathbb{N}$ . Pruebe que para cualquier $n$ tenemos $f(n) = n.$

Sean $a,b$ dos números naturales. Cuando dividimos $a^2+b^2$ por $a+b$ , obtenemos el resto $r$ y el cociente $q.$ Determine todos los pares $(a, b)$ para los cuales $q^2 + r = 1977.$

Sean $a,b,A,B$ números reales dados. Consideramos la función definida por \[ f(x) = 1 - a \cdot \cos(x) - b \cdot \sin(x) - A \cdot \cos(2x) - B \cdot \sin(2x). \] Pruebe que si para cualquier número real $x$ tenemos $f(x) \geq 0$ entonces $a^2 + b^2 \leq 2$ y $A^2 + B^2 \leq 1.$

Sea $n$ un número dado mayor que 2. Consideramos el conjunto $V_n$ de todos los enteros de la forma $1 + kn$ con $k = 1, 2, \ldots$ Un número $m$ de $V_n$ se llama indescomponible en $V_n$ si no hay dos números $p$ y $q$ de $V_n$ tales que $m = pq.$ Demuestre que existe un número $r \in V_n$ que puede expresarse como el producto de elementos indescomponibles en $V_n$ de más de una forma. (Las expresiones que difieren sólo en el orden de los elementos de $V_n$ se considerarán iguales).

En una secuencia finita de números reales, la suma de siete términos sucesivos cualesquiera es negativa y la suma de once términos sucesivos cualesquiera es positiva. Determine el número máximo de términos en la secuencia.

En el interior de un cuadrado $ABCD$ construimos los triángulos equiláteros $ABK, BCL, CDM, DAN.$ Pruebe que los puntos medios de los cuatro segmentos $KL, LM, MN, NK$ y los puntos medios de los ocho segmentos $AK, BK, BL, CL, CM, DM, DN, AN$ son los 12 vértices de un dodecágono regular.