Sea $ABCD$ el tetraedro regular, y $M, N$ puntos en el espacio. Demuestre que: $AM \cdot AN + BM \cdot BN + CM \cdot CN \geq DM \cdot DN$

Para cada entero positivo $k$, denotamos $C(k)$ como la suma de sus divisores primos distintos. Por ejemplo, $C(1)=0,C(2)=2,C(45)=8$ . Encuentre todos los enteros positivos $n$ para los cuales $C(2^n+1)=C(n)$ .

Sea $(a_n)$ una secuencia de enteros positivos tal que los primeros $k$ miembros $a_1,a_2,...,a_k$ son enteros positivos distintos, y para cada $n>k$ , el número $a_n$ es el entero positivo más pequeño que no se puede representar como una suma de varios (posiblemente uno) de los números $a_1,a_2,...,a_{n-1}$ . Demuestre que $a_n=2a_{n-1}$ para todo $n$ suficientemente grande.

Un rectángulo en un papel cuadriculado con longitud del lado de un cuadrado unitario siendo $1$ se divide en figuras de dominó (dos cuadrados unitarios que comparten un borde común). Demuestre que si colorea todas las esquinas de los cuadrados en el borde del rectángulo y dentro del rectángulo con $3$ colores, de modo que para cualquier par de esquinas con distancia $1$ se cumplen las siguientes condiciones: se colorean con un color diferente si la línea que conecta las dos esquinas está en el borde de dos figuras de dominó y se colorean con el mismo color si la línea que conecta las dos esquinas está dentro de una figura de dominó.

Encuentre todas las funciones $f:R \rightarrow R$ tales que $$(x+y^2)f(yf(x))=xyf(y^2+f(x))$$ , donde $x,y \in \mathbb{R}$

Sea $ABC$ un triángulo no isósceles con circuncírculo $\omega$ y sean $H, M$ el ortocentro y el punto medio de $AB$ respectivamente. Sean $P,Q$ puntos en el arco $AB$ de $\omega$ que no contiene a $C$ tales que $\angle ACP=\angle BCQ < \angle ACQ$ . Sean $R,S$ los pies de las alturas desde $H$ a $CQ,CP$ respectivamente. Demuestre que los puntos $P,Q,R,S$ son concíclicos y $M$ es el centro de este círculo.

Para un entero positivo $n$ define una secuencia de ceros y unos como balanceada si contiene $n$ ceros y $n$ unos. Dos secuencias balanceadas $a$ y $b$ son vecinas si puedes mover uno de los $2n$ símbolos de $a$ a otra posición para formar $b$ . Por ejemplo, cuando $n = 4$ , las secuencias balanceadas $01101001$ y $00110101$ son vecinas porque el tercer (o cuarto) cero en la primera secuencia se puede mover a la primera o segunda posición para formar la segunda secuencia. Demuestra que hay un conjunto $S$ de a lo sumo $\frac{1}{n+1} \binom{2n}{n}$ secuencias balanceadas tales que cada secuencia balanceada es igual o es vecina de al menos una secuencia en $S$ .

Encuentra todas las sucesiones finitas $(x_0, x_1, \ldots,x_n)$ tales que para cada $j$ , $0 \leq j \leq n$ , $x_j$ es igual al número de veces que $j$ aparece en la sucesión.

Un conjunto de tres enteros no negativos $\{x,y,z\}$ con $x < y < z$ se llama histórico si $\{z-y,y-x\} = \{1776,2001\}$ . Demuestra que el conjunto de todos los enteros no negativos puede escribirse como la unión de conjuntos históricos disjuntos por pares.

Define un $k$ -clique como un conjunto de $k$ personas tales que cada par de ellas se conocen entre sí. En una fiesta determinada, cada par de 3-cliques tiene al menos una persona en común, y no hay 5-cliques. Demuestra que hay dos o menos personas en la fiesta cuya partida no deja ningún 3-clique restante.