Sea $n$ un entero impar mayor que 1 y sean $c_1, c_2, \ldots, c_n$ enteros. Para cada permutación $a = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ de $\{1,2,\ldots,n\}$ , define $S(a) = \sum_{i=1}^n c_i a_i$ . Demuestra que existen permutaciones $a \neq b$ de $\{1,2,\ldots,n\}$ tales que $n!$ es un divisor de $S(a)-S(b)$ .

Sea $A = (a_1, a_2, \ldots, a_{2001})$ una secuencia de enteros positivos. Sea $m$ el número de subsecuencias de 3 elementos $(a_i,a_j,a_k)$ con $1 \leq i < j < k \leq 2001$ , tales que $a_j = a_i + 1$ y $a_k = a_j + 1$ . Considerando todas esas secuencias $A$ , encuentra el mayor valor de $m$ .

Demuestra que para todos los números reales positivos $a,b,c$ , \n\[ \frac{a}{\sqrt{a^2 + 8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^2 + 8ca}} + \frac{c}{\sqrt{c^2 + 8ab}} \geq 1. \]

Encuentra todos los enteros positivos $a_1, a_2, \ldots, a_n$ tales que\n\[\n\frac{99}{100} = \frac{a_0}{a_1} + \frac{a_1}{a_2} + \cdots +\n\frac{a_{n-1}}{a_n},\n\] donde $a_0 = 1$ y $(a_{k+1}-1)a_{k-1} \geq a_k^2(a_k - 1)$ para $k = 1,2,\ldots,n-1$.

Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales arbitrarios. Demuestre la desigualdad\n\[\n\frac{x_1}{1+x_1^2} + \frac{x_2}{1+x_1^2 + x_2^2} + \cdots +\n\frac{x_n}{1 + x_1^2 + \cdots + x_n^2} < \sqrt{n}.\n\]

Sean $a_0, a_1, a_2, \ldots$ una secuencia infinita arbitraria de números positivos. Demuestre que la desigualdad $1 + a_n > a_{n-1} \sqrt[n]{2}$ se cumple para infinitos enteros positivos $n$.

Sea $ T$ el conjunto de todas las ternas ordenadas $ (p,q,r)$ de enteros no negativos. Encuentre todas las funciones $ f: T \rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen \[ f(p,q,r) = \begin{cases} 0 & \text{si} \; pqr = 0, \\ 1 + \frac{1}{6}(f(p + 1,q - 1,r) + f(p - 1,q + 1,r) & \\ \n+ f(p - 1,q,r + 1) + f(p + 1,q,r - 1) & \\ + f(p,q + 1,r - 1) + f(p,q - 1,r + 1)) & \text{en caso contrario} \end{cases} \]

Sea $p \geq 5$ un número primo. Demuestre que existe un entero $a$ con $1 \leq a \leq p-2$ tal que ni $a^{p-1}-1$ ni $(a+1)^{p-1}-1$ es divisible por $p^2$.

Sea $ a_1 = 11^{11}, \, a_2 = 12^{12}, \, a_3 = 13^{13}$ , y $ a_n = |a_{n - 1} - a_{n - 2}| + |a_{n - 2} - a_{n - 3}|, n \geq 4.$\nDetermine $ a_{14^{14}}$.

Considere el sistema\n\begin{align*}x + y &= z + u,\\2xy & = zu.\end{align*}\nEncuentre el mayor valor de la constante real $m$ tal que $m \leq x/y$ para cualquier solución entera positiva $(x,y,z,u)$ del sistema, con $x \geq y$.