Suponga que tal entero $n$ existe. Para cada $1\leq k\leq 9$, existe un entero $p_{k}$ tal que:\n$k.10^{p_{k}}\leq (n+k)! < (k+1).10^{p_{k}}$\nAl formar el cociente entre dos desigualdades sucesivas, encontramos que para cada $2\leq k \leq 9$,\n$10^{p_{k}-p_{k-1}}<n+k<\frac{k+1}{k-1}10^{p_{k}-p_{k-1}}$ (1)\nComo $\frac{k+1}{k-1}<10$ para cada $2\leq k \leq 9$, sabemos que $p_{k}-p_{k-1}$ es una constante (es decir, no depende de k). Asuma $p_{k}-p_{k-1}=l$. Simplemente use (1) con $k=9$, y encontrará:\n$%Error. 'foreach' is a bad command.\n1\leq k \leq 9, \ \ 10^{l}\leq n+k<1,25.10^{l}$ ( 2)\n(por cierto, esto prueba que si tal entero $n$ existe, tenemos $l\geq 2$ y $n+1\geq 100$)\nAhora, de $(n+1)n!=(n+1)!<2.10^{p_{1}}$ y $(n+4)^{4}n!>(n+4)!\geq 4.10^{p_{4}}$\nObtenemos $\frac{(n+4)^{4}}{n+1}>2.10^{p_{4}-p_{1}}=2.10^{3l}$\nsi $l\geq 3$, entonces $n+1\geq 1000$ (usando (2) )\nasí que $\frac{n+1}{n+4}\geq \frac{1000}{1003}$\nasí que:\n$(n+4)^{3}=\frac{(n+4)^{4}}{n+1}.\frac{n+1}{n+4}>\frac{1000}{1003}2.10^{3l}$\n$n+4>\left(2\frac{1000}{1003}\right)^{1/3}.10^{l}>1,25.10^{l}$\nlo cual contradice (2).\nDe lo contrario, $l=2$, y $\frac{(n+4)^{4}}{n+1}>2.10^{6}$\n$n+1\geq 100$ (usando (2) )\nasí que $\frac{n+1}{n+4}\geq \frac{100}{103}$\nasí que:\n$(n+4)^{3}=\frac{(n+4)^{4}}{n+1}.\frac{n+1}{n+4}>\frac{100}{103}2.10^{6}$\n$n+4>\left(2\frac{100}{103}\right)^{1/3}.10^{2}>123$\nasí que:\n$n+9>125$\nlo cual nuevamente contradice (2).

Demuestra que no existe un entero positivo $n$ tal que, para $k = 1,2,\ldots,9$, el dígito más a la izquierda (en notación decimal) de $(n+k)!$ sea igual a $k$.

Veintiuna chicas y veintiún chicos participaron en una competencia matemática. Resultó que cada concursante resolvió como máximo seis problemas, y para cada par de una chica y un chico, hubo al menos un problema que fue resuelto tanto por la chica como por el chico. Demuestre que hay un problema que fue resuelto por al menos tres chicas y al menos tres chicos.

Se coloca una pila de $n$ guijarros en una columna vertical. Esta configuración se modifica de acuerdo con las siguientes reglas. Se puede mover un guijarro si está en la parte superior de una columna que contiene al menos dos guijarros más que la columna inmediatamente a su derecha. (Si no hay guijarros a la derecha, piense en esto como una columna con 0 guijarros). En cada etapa, elija un guijarro de entre los que se pueden mover (si los hay) y colóquelo en la parte superior de la columna a su derecha. Si no se pueden mover guijarros, la configuración se denomina configuración final. Para cada $n$, demuestre que, sin importar las elecciones que se hagan en cada etapa, la configuración final obtenida es única. Describe esa configuración en términos de $n$.

¿Es posible encontrar $100$ enteros positivos que no excedan $25,000$, tales que todas las sumas por pares de ellos sean diferentes?

Sean $a > b > c > d$ enteros positivos y suponga que \[ ac + bd = (b+d+a-c)(b+d-a+c). \] Demuestre que $ab + cd$ no es primo.

Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , que satisfacen\n\[\nf(xy)(f(x) - f(y)) = (x-y)f(x)f(y)\n\] para todo $x,y$ .

Sea $ABC$ un triángulo con centroide $G$. Determine, con demostración, la posición del punto $P$ en el plano de $ABC$ tal que $AP{\cdot}AG + BP{\cdot}BG + CP{\cdot}CG$ es un mínimo, y exprese este valor mínimo en términos de las longitudes de los lados de $ABC$.

Considere un triángulo acutángulo $ABC$. Sea $P$ el pie de la altura del triángulo $ABC$ que sale del vértice $A$, y sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$. Asuma que $\angle C \geq \angle B+30^{\circ}$. Demuestre que $\angle A+\angle COP < 90^{\circ}$.

Sea $A_1$ el centro del cuadrado inscrito en el triángulo acutángulo $ABC$ con dos vértices del cuadrado en el lado $BC$. Así, uno de los dos vértices restantes del cuadrado está en el lado $AB$ y el otro está en $AC$. Los puntos $B_1, C_1$ se definen de manera similar para los cuadrados inscritos con dos vértices en los lados $AC$ y $AB$, respectivamente. Demuestre que las líneas $AA_1, BB_1, CC_1$ son concurrentes.