Para cada entero $n \geq 2$ determine el valor mínimo que puede tomar la suma $\sum^n_{i=0} a_i$ para números no negativos $a_0, a_1, \ldots, a_n$ que satisfacen la condición $a_0 = 1,$ $a_i \leq a_{i+1} + a_{i+2}$ para $i = 0, \ldots, n - 2.$

Sean $X,Y,Z$ los puntos medios de los arcos pequeños $BC,CA,AB$ respectivamente (arcos de la circunferencia circunscrita de $ABC$). $M$ es un punto arbitrario en $BC$, y las paralelas a través de $M$ a las bisectrices internas de $ \angle B,\angle C$ cortan las bisectrices externas de $\angle C,\angle B$ en $N,P$ respectivamente. Demuestra que $XM,YN,ZP$ concurren.

Para cada entero positivo $n$, sea $f(n)$ el número de formas de representar $n$ como una suma de potencias de 2 con exponentes enteros no negativos. Las representaciones que difieren solo en el orden de sus sumandos se consideran iguales. Por ejemplo, $f(4) = 4$, porque el número 4 puede representarse de las siguientes cuatro maneras: 4; 2+2; 2+1+1; 1+1+1+1. Demuestra que, para cualquier entero $n \geq 3$ tenemos $2^{\frac {n^2}{4}} < f(2^n) < 2^{\frac {n^2}2}$.

Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo. Las diagonales $ AC$ y $ BD$ se intersecan en $ K$ . Demuestra que $ ABCD$ es cíclico si y solo si $ AK \sin A + CK \sin C = BK \sin B + DK \sin D$ .

¿Existen funciones $ f,g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $ f(g(x)) = x^2$ y $ g(f(x)) = x^k$ para todos los números reales $ x$ a) si $ k = 3$ ? b) si $ k = 4$ ?

Sean $ x_1$ , $ x_2$ , $ \ldots$ , $ x_n$ números reales que satisfacen las condiciones: \[ \left\{\begin{array}{cccc} |x_1 + x_2 + \cdots + x_n | & = & 1 & \ \ |x_i| & \leq & \displaystyle \frac {n + 1}{2} & \ \textrm{ para }i = 1, 2, \ldots , n. \end{array} \right. \] Demuestra que existe una permutación $ y_1$ , $ y_2$ , $ \ldots$ , $ y_n$ de $ x_1$ , $ x_2$ , $ \ldots$ , $ x_n$ tal que \[ | y_1 + 2 y_2 + \cdots + n y_n | \leq \frac {n + 1}{2}. \]

Sea $ ABC$ un triángulo. $ D$ es un punto en el lado $ (BC)$ . La línea $ AD$ se encuentra nuevamente con la circunferencia circunscrita en $ X$ . $ P$ es el pie de la perpendicular desde $ X$ a $ AB$ , y $ Q$ es el pie de la perpendicular desde $ X$ a $ AC$ . Demuestra que la línea $ PQ$ es tangente al círculo en el diámetro $ XD$ si y solo si $ AB = AC$ .

Sean $ a_1\geq \cdots \geq a_n \geq a_{n + 1} = 0$ números reales. Demuestra que \[ \sqrt {\sum_{k = 1}^n a_k} \leq \sum_{k = 1}^n \sqrt k (\sqrt {a_k} - \sqrt {a_{k + 1}}). \]

Las alturas que pasan por los vértices $ A,B,C$ de un triángulo acutángulo $ ABC$ se encuentran con los lados opuestos en $ D,E, F,$ respectivamente. La línea que pasa por $ D$ paralela a $ EF$ se encuentra con las líneas $ AC$ y $ AB$ en $ Q$ y $ R,$ respectivamente. La línea $ EF$ se encuentra con $ BC$ en $ P.$ Demuestra que la circunferencia circunscrita del triángulo $ PQR$ pasa por el punto medio de $ BC.$

Encuentra todos los pares $ (a,b)$ de enteros positivos que satisfacen la ecuación: $ a^{b^2} = b^a$ .