En un triángulo acutángulo $ ABC,$ sean $ AD,BE$ las alturas y $ AP,BQ$ las bisectrices internas. Denotemos por $ I$ y $ O$ el incentro y el circuncentro del triángulo, respectivamente. Demuestra que los puntos $ D, E,$ e $ I$ son colineales si y sólo si los puntos $ P, Q,$ y $ O$ son colineales.

Una progresión aritmética infinita cuyos términos son enteros positivos contiene el cuadrado de un entero y el cubo de un entero. Demuestra que contiene la sexta potencia de un entero.

Sean $ b, m, n$ enteros positivos tales que $ b > 1$ y $ m \neq n.$ Demostrar que si $ b^m - 1$ y $ b^n - 1$ tienen los mismos divisores primos, entonces $ b + 1$ es una potencia de 2.

En la ciudad $ A,$ hay $ n$ chicas y $ n$ chicos, y cada chica conoce a cada chico. En la ciudad $ B,$ hay $ n$ chicas $ g_1, g_2, \ldots, g_n$ y $ 2n - 1$ chicos $ b_1, b_2, \ldots, b_{2n-1}.$ La chica $ g_i,$ $ i = 1, 2, \ldots, n,$ conoce a los chicos $ b_1, b_2, \ldots, b_{2i-1},$ y a ningún otro. Para todo $ r = 1, 2, \ldots, n,$ denotamos por $ A(r),B(r)$ el número de diferentes formas en las que $ r$ chicas de la ciudad $ A,$ respectivamente la ciudad $ B,$ pueden bailar con $ r$ chicos de su propia ciudad, formando $ r$ parejas, cada chica con un chico que conoce. Demostrar que $ A(r) = B(r)$ para cada $ r = 1, 2, \ldots, n.$

Sea $ p$ un número primo y $ f$ un polinomio entero de grado $ d$ tal que $ f(0) = 0,f(1) = 1$ y $ f(n)$ es congruente a $ 0$ o $ 1$ módulo $ p$ para cada entero $ n$ . Demostrar que $ d\geq p - 1$ .

Sea $ P(x)$ un polinomio con coeficientes reales tal que $ P(x) > 0$ para todo $ x \geq 0.$ Demostrar que existe un entero positivo n tal que $ (1 + x)^n \cdot P(x)$ es un polinomio con coeficientes no negativos.

Hallar todos los enteros positivos $ k$ para los cuales la siguiente declaración es verdadera: Si $ F(x)$ es un polinomio con coeficientes enteros que satisface la condición $ 0 \leq F(c) \leq k$ para cada $ c\in \{0,1,\ldots,k + 1\}$ , entonces $ F(0) = F(1) = \ldots = F(k + 1)$ .

Sea $ A_1A_2A_3$ un triángulo no isósceles con incentro $ I.$ Sea $ C_i,$ $ i = 1, 2, 3,$ el círculo más pequeño que pasa por $ I$ tangente a $ A_iA_{i+1}$ y $ A_iA_{i+2}$ (la adición de índices se hace módulo 3). Sea $ B_i, i = 1, 2, 3,$ el segundo punto de intersección de $ C_{i+1}$ y $ C_{i+2}.$ Demostrar que los circuncentros de los triángulos $ A_1 B_1I,A_2B_2I,A_3B_3I$ son colineales.

Se sabe que $ \angle BAC$ es el ángulo más pequeño en el triángulo $ ABC$ . Los puntos $ B$ y $ C$ dividen la circunferencia circunscrita del triángulo en dos arcos. Sea $ U$ un punto interior del arco entre $ B$ y $ C$ que no contiene a $ A$ . Las bisectrices perpendiculares de $ AB$ y $ AC$ se encuentran con la línea $ AU$ en $ V$ y $ W$ , respectivamente. Las líneas $ BV$ y $ CW$ se encuentran en $ T$ . Demostrar que $ AU = TB + TC$ . Formulación alternativa: Se eligen cuatro puntos diferentes $ A,B,C,D$ en un círculo $ \Gamma$ tales que el triángulo $ BCD$ no es rectángulo. Demostrar que: (a) Las bisectrices perpendiculares de $ AB$ y $ AC$ se encuentran con la línea $ AD$ en ciertos puntos $ W$ y $ V,$ respectivamente, y que las líneas $ CV$ y $ BW$ se encuentran en un cierto punto $ T.$ (b) La longitud de uno de los segmentos de línea $ AD, BT,$ y $ CT$ es la suma de las longitudes de los otros dos.

Las longitudes de los lados de un hexágono convexo $ ABCDEF$ satisfacen $ AB = BC$ , $ CD = DE$ , $ EF = FA$ . Demostrar que: \[ \frac {BC}{BE} + \frac {DE}{DA} + \frac {FA}{FC} \geq \frac {3}{2}.\]