(a) Sea $ n$ un entero positivo. Demostrar que existen enteros positivos distintos $ x, y, z$ tales que \[ x^{n-1} + y^n = z^{n+1}.\] (b) Sean $ a, b, c$ enteros positivos tales que $ a$ y $ b$ son relativamente primos y $ c$ es relativamente primo ya sea con $ a$ o con $ b.$ Demostrar que existen infinitos triples $ (x, y, z)$ de enteros positivos distintos $ x, y, z$ tales que \[ x^a + y^b = z^c.\]

Sea $ ABCD$ un tetraedro regular y $ M,N$ puntos distintos en los planos $ ABC$ y $ ADC$ respectivamente. Demuestre que los segmentos $ MN,BN,MD$ son los lados de un triángulo.

Una matriz de $ n \times n$ cuyas entradas provienen del conjunto $ S = \{1, 2, \ldots , 2n - 1\}$ se llama matriz plateada si, para cada $ i = 1, 2, \ldots , n$ , la $ i$ -ésima fila y la $ i$ -ésima columna contienen juntas todos los elementos de $ S$ . Demuestre que: (a) no existe una matriz plateada para $ n = 1997$ ; (b) existen matrices plateadas para infinitos valores de $ n$ .

Para cada conjunto finito $ U$ de vectores no nulos en el plano definimos $ l(U)$ como la longitud del vector que es la suma de todos los vectores en $ U.$ Dado un conjunto finito $ V$ de vectores no nulos en el plano, un subconjunto $ B$ de $ V$ se dice que es maximal si $ l(B)$ es mayor o igual que $ l(A)$ para cada subconjunto no vacío $ A$ de $ V.$ (a) Construya conjuntos de 4 y 5 vectores que tengan 8 y 10 subconjuntos maximales respectivamente. (b) Demuestre que, para cualquier conjunto $ V$ que consta de $ n \geq 1$ vectores, el número de subconjuntos maximales es menor o igual que $ 2n.$

Sea $ R_1,R_2, \ldots$ la familia de sucesiones finitas de enteros positivos definidas por las siguientes reglas: $ R_1 = (1),$ y si $ R_{n - 1} = (x_1, \ldots, x_s),$ entonces \[ R_n = (1, 2, \ldots, x_1, 1, 2, \ldots, x_2, \ldots, 1, 2, \ldots, x_s, n).\] Por ejemplo, $ R_2 = (1, 2),$ $ R_3 = (1, 1, 2, 3),$ $ R_4 = (1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 4).$ Demuestre que si $ n > 1,$ entonces el $ k$ -ésimo término desde la izquierda en $ R_n$ es igual a 1 si y sólo si el $ k$ -ésimo término desde la derecha en $ R_n$ es diferente de 1.

En el plano, los puntos con coordenadas enteras son los vértices de cuadrados unitarios. Los cuadrados se colorean alternativamente de blanco y negro (como en un tablero de ajedrez). Para cualquier par de enteros positivos $ m$ y $ n$ , considere un triángulo rectángulo cuyos vértices tienen coordenadas enteras y cuyos catetos, de longitudes $ m$ y $ n$ , se encuentran a lo largo de los bordes de los cuadrados. Sea $ S_1$ el área total de la parte negra del triángulo y $ S_2$ el área total de la parte blanca. Sea $ f(m,n) = | S_1 - S_2 |$ .\na) Calcule $ f(m,n)$ para todos los enteros positivos $ m$ y $ n$ que son ambos pares o ambos impares.\nb) Demuestre que $ f(m,n) \leq \frac 12 \max \{m,n \}$ para todos los $ m$ y $ n$ .\nc) Demuestre que no existe una constante $ C\in\mathbb{R}$ tal que $ f(m,n) < C$ para todos los $ m$ y $ n$ .

Sea $0\le x_{i,j} \le 1$, donde $i=1,2, \ldots m$ y $j=1,2, \ldots n$. Demuestre la desigualdad \[ \prod_{j=1}^n\left(1-\prod_{i=1}^mx_{i,j} \right)+ \prod_{i=1}^m\left(1-\prod_{j=1}^n(1-x_{i,j}) \right) \ge 1 \]

Las longitudes de los lados $a,b,c$ de un triángulo $ABC$ son enteros con $\gcd(a,b,c)=1$. La bisectriz del ángulo $BAC$ se encuentra con $BC$ en $D$. (a) demuestre que si los triángulos $DBA$ y $ABC$ son similares entonces $c$ es un cuadrado. (b) Si $c=n^2$ es un cuadrado $(n\ge 2)$, encuentre un triángulo $ABC$ que satisfaga (a).

Sea $P$ un punto dentro de un triángulo $ABC$, y $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2$ sean segmentos que pasan por $P$ y son paralelos a $AB, BC, CA$ respectivamente, donde los puntos $A_1, A_2$ están en $BC$, $B_1, B_2$ en $CA$ , y $C_1, C_2$ en $AB$. Demuestre que \[ \text{Area}(A_1A_2B_1B_2C_1C_2) \ge \frac{1}{2}\text{Area}(ABC)\]

Cada punto de un plano está coloreado de rojo o azul, no todos con el mismo color. ¿Se puede hacer esto de tal manera que, en cada circunferencia de radio 1, (a) haya exactamente un punto azul; (b) haya exactamente dos puntos azules?